Построить график функции:** \[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \]

Давайте подробно разберем, как построить график функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \). --- ### Шаг 1. Определим вид функции Это тригонометрическая функция вида: \[ y = a \cos (b x) + c, \] где: - \( a = \frac{1}{2} \) — амплитуда (максимальное отклонение от среднего значения), - \( b = 1 \) — коэффициент, влияющий на период, - \( c = 3 \) — вертикальный сдвиг (смещение по оси \( y \)). ### Шаг 2. Найдем основные характеристики функции - **Амплитуда**: \( |a| = \frac{1}{2} \). Значит, график колеблется на \( \pm \frac{1}{2} \) относительно среднего уровня. - **Среднее значение (основа графика)**: \( c = 3 \). Вертикальный сдвиг вверх на 3. - **Период**: \[ T = \frac{2\pi}{b} = 2\pi, \] так как \( b=1 \). То есть, функция повторяется каждые \( 2\pi \). - **Коэффициент по \( x \)** внутри косинуса — равен 1, значит график не сжат и не растянут по горизонтали. --- ### Шаг 3. Построение графика 1. **Определим максимальные и минимальные значения функции:** - Максимум: \( y_{max} = c + a = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \). - Минимум: \( y_{min} = c - a = 3 - \frac{1}{2} = 2.5 \). 2. **Промежутки:** - Максимум достигается, когда \( \cos x = 1 \), то есть при \( x = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots \). - Минимум достигается, когда \( \cos x = -1 \), при \( x = \pi, 3\pi, \ldots \). - Срединное значение (напряженная горизонтальная линия): \( y = 3 \). 3. **Точки для построения:** - Важно отметить, что в точке \( x=0 \), \( y=\frac{1}{2} \cos 0 + 3 = \frac{1}{2} \times 1 + 3 = 3.5 \) — максимум. - В точке \( x=\pi \), \( y=\frac{1}{2} \cos \pi + 3= \frac{1}{2} \times (-1) +3= 2.5 \) — минимум. - В точке \( x=\frac{\pi}{2} \), \( y=\frac{1}{2} \times 0 + 3=3 \). - В точке \( x=2\pi \), \( y=\frac{1}{2} \times 1 + 3=3.5 \). ### Шаг 4. Построение графика - Начинаем график в точке \( x=0 \), \( y=3.5 \). - Опускаемся до \( y=3 \) в \( x=\frac{\pi}{2} \). - Переходим к минимуму \( y=2.5 \) в \( x=\pi \). - Возвращаемся к \( y=3 \) в \( x= \frac{3\pi}{2} \). - Вновь достигаем максимума \( y=3.5 \) в \( x=2\pi \). Соединяйте эти точки плавной, синусоидальной кривой. --- ### Итог График функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \): - В основном волнении — колебания от 2.5 до 3.5. - Период: \( 2\pi \). - Центр волны — линия \( y=3 \). - График — классическая косинусоида, смещенная вверх на 3. Если у вас есть программа для построения графиков (например, онлайн или графический калькулятор), вы можете ввести это уравнение и увидеть точное изображение. Или я могу помочь вам построить его вручную или на чертеже. --- Если нужны дополнительные пояснения или чертеж, скажите!