Построить график функции:** \[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \]

Давайте подробно разберем, как построить график функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \).

Шаг 1. Определим вид функции

Это тригонометрическая функция вида: \[ y = a \cos (b x) + c, \] где:

• \( a = \frac{1}{2} \) — амплитуда (максимальное отклонение от среднего значения),
• \( b = 1 \) — коэффициент, влияющий на период,
• \( c = 3 \) — вертикальный сдвиг (смещение по оси \( y \)).

Шаг 2. Найдем основные характеристики функции

• Амплитуда: \( |a| = \frac{1}{2} \). Значит, график колеблется на \( \pm \frac{1}{2} \) относительно среднего уровня.
• Среднее значение (основа графика): \( c = 3 \). Вертикальный сдвиг вверх на 3.
• Период: \[ T = \frac{2\pi}{b} = 2\pi, \] так как \( b=1 \).

То есть, функция повторяется каждые \( 2\pi \).

• Коэффициент по \( x \) внутри косинуса — равен 1, значит график не сжат и не растянут по горизонтали.

Шаг 3. Построение графика

1. Определим максимальные и минимальные значения функции:

   • Максимум: \( y_{max} = c + a = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \).
   • Минимум: \( y_{min} = c - a = 3 - \frac{1}{2} = 2.5 \).

2. Промежутки:

   • Максимум достигается, когда \( \cos x = 1 \), то есть при \( x = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots \).
   • Минимум достигается, когда \( \cos x = -1 \), при \( x = \pi, 3\pi, \ldots \).
   • Срединное значение (напряженная горизонтальная линия): \( y = 3 \).

3. Точки для построения:

   • Важно отметить, что в точке \( x=0 \), \( y=\frac{1}{2} \cos 0 + 3 = \frac{1}{2} \times 1 + 3 = 3.5 \) — максимум.
   • В точке \( x=\pi \), \( y=\frac{1}{2} \cos \pi + 3= \frac{1}{2} \times (-1) +3= 2.5 \) — минимум.
   • В точке \( x=\frac{\pi}{2} \), \( y=\frac{1}{2} \times 0 + 3=3 \).
   • В точке \( x=2\pi \), \( y=\frac{1}{2} \times 1 + 3=3.5 \).

Шаг 4. Построение графика

• Начинаем график в точке \( x=0 \), \( y=3.5 \).
• Опускаемся до \( y=3 \) в \( x=\frac{\pi}{2} \).
• Переходим к минимуму \( y=2.5 \) в \( x=\pi \).
• Возвращаемся к \( y=3 \) в \( x= \frac{3\pi}{2} \).
• Вновь достигаем максимума \( y=3.5 \) в \( x=2\pi \).

Соединяйте эти точки плавной, синусоидальной кривой.

Итог

График функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \):

• В основном волнении — колебания от 2.5 до 3.5.
• Период: \( 2\pi \).
• Центр волны — линия \( y=3 \).
• График — классическая косинусоида, смещенная вверх на 3.

Если у вас есть программа для построения графиков (например, онлайн или графический калькулятор), вы можете ввести это уравнение и увидеть точное изображение. Или я могу помочь вам построить его вручную или на чертеже.

Если нужны дополнительные пояснения или чертеж, скажите!