Дана функция у = 2/(х + 1). Построить график функции. Найти область определения и значения функции; определить четная или нечетная функция; указать промежутки возрастания и…

Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним все этапы.

---

Дана функция:

\[ y = \frac{2}{x + 1} \]

---

1. Область определения функции

Область определения — это все значения \( x \), для которых функция существует (знаменатель не равен нулю).

• Знаменатель \( x + 1 \neq 0 \)
• Значит, \( x \neq -1 \)

Ответ:
\[ \boxed{\text{Область определения: } \mathbb{R} \setminus \{-1\}} \]
или словами: все числа, кроме \(-1\).

---

2. Область значений функции

Рассмотрим, какие значения может принимать \( y \).

• Величина \( y \) может принимать любые значения, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю или функция не определена.
• Так как \( y = \frac{2}{x+1} \), значение \( y \) может быть любым, кроме нуля (так как для \( y = 0 \), необходимо \( 2/(x+1)=0 \), что невозможно).

Посмотрим подробнее:

• \( y = 0 \Rightarrow \) \(\frac{2}{x+1} = 0 \)
• Решение: \(\frac{2}{x+1} = 0 \)
  Нет решения, потому что дробь равна нулю, только если числитель равен нулю, но он равен 2.

Значит, \( y \) не может быть равен нулю.

Ответ:
\[ \boxed{\text{Область значений: } \mathbb{R} \setminus \{0\}} \]

---

3. Построение графика функции

График функции \( y = \frac{2}{x+1} \):

• Это гипербола с асимптотами:

  • Вертикальная асимптота: \( x = -1 \) (где функция не определена)
  • Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \) (когда \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \))

• Для построения:

  • Возьмем несколько точек: например, при \( x = 0 \), \( y = 2/(0+1) = 2 \)
  • при \( x = 1 \), \( y = 2/2=1 \)
  • при \( x = -2 \), \( y=2/(-2+1)=2/(-1) = -2 \)
  • при \( x = -0.5 \), \( y=2/(-0.5+1)=2/0.5=4 \)

Образец графика — гипербола, которая "разделяется" асимптотами.

---

4. Определение четности или нечетности функции

• функция \( y = \frac{2}{x+1} \) не является четной или нечетной, потому что при замене \( x \) на \( -x \):

\[ y(-x) = \frac{2}{-x+1} \]

Это не равно \( y(x) \) или \( -y(x) \), следовательно, функция не является четной или нечетной.

---

5. Промежутки возрастания и убывания

Для определения ищем производную:

\[ y = \frac{2}{x+1} \]

Производная:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x+1} \right) \]

Используем правило дифференцирования дроби (или запишем:

\[ y = 2 (x+1)^{-1} \]

тогда:

\[ y' = 2 \cdot (-1) (x+1)^{-2} = - \frac{2}{(x+1)^2} \]

• Производная \( y' \) всегда отрицательна, кроме точки \( x = -1 \), где она не определена.
• Значит, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ:

• Функция убывает на интервале: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
• Нет интервалов возрастания

---

6. Значения функции при \( x = 3 \) и \( x = -1 \)

• при \( x=3 \):

\[ y = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

• при \( x=-1 \):

Функция не определена (знаменатель равен нулю).

Ответ:

• \( y(3) = 0.5 \)
• при \( x = -1 \) функция не существует.

---

Итоговый ответ:

• Область определения: \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)
• Область значений: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
• График: гипербола с вертикальной асимптотой \( x=-1 \) и горизонтальной \( y=0 \)
• Четность: функция нечетная или четная
• Промежутки возрастания/убывания: функция убывает на всей области
• Значения при \( x=3 \): 0.5
• Значение при \( x=-1 \): не существует.

Если нужно дополнительно построить график или объяснить еще что-то — скажите!