Дана функция у = 2/(х + 1). Построить график функции. Найти область определения и значения функции; определить четная или нечетная функция; указать промежутки возрастания и убывания. Найти значения функции при х = 3 и х = -1.

Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним все этапы. --- ### Дана функция: \[ y = \frac{2}{x + 1} \] --- ### 1. Область определения функции Область определения — это все значения \( x \), для которых функция существует (знаменатель не равен нулю). - Знаменатель \( x + 1 \neq 0 \) - Значит, \( x \neq -1 \) **Ответ:** \[ \boxed{\text{Область определения: } \mathbb{R} \setminus \{-1\}} \] или словами: все числа, кроме \(-1\). --- ### 2. Область значений функции Рассмотрим, какие значения может принимать \( y \). - Величина \( y \) может принимать любые значения, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю или функция не определена. - Так как \( y = \frac{2}{x+1} \), значение \( y \) может быть любым, кроме нуля (так как для \( y = 0 \), необходимо \( 2/(x+1)=0 \), что невозможно). Посмотрим подробнее: - \( y = 0 \Rightarrow \) \(\frac{2}{x+1} = 0 \) - Решение: \(\frac{2}{x+1} = 0 \) Нет решения, потому что дробь равна нулю, только если числитель равен нулю, но он равен 2. Значит, \( y \) не может быть равен нулю. **Ответ:** \[ \boxed{\text{Область значений: } \mathbb{R} \setminus \{0\}} \] --- ### 3. Построение графика функции График функции \( y = \frac{2}{x+1} \): - Это гипербола с асимптотами: - Вертикальная асимптота: \( x = -1 \) (где функция не определена) - Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \) (когда \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \)) - Для построения: - Возьмем несколько точек: например, при \( x = 0 \), \( y = 2/(0+1) = 2 \) - при \( x = 1 \), \( y = 2/2=1 \) - при \( x = -2 \), \( y=2/(-2+1)=2/(-1) = -2 \) - при \( x = -0.5 \), \( y=2/(-0.5+1)=2/0.5=4 \) Образец графика — гипербола, которая "разделяется" асимптотами. --- ### 4. Определение четности или нечетности функции - функция \( y = \frac{2}{x+1} \) не является четной или нечетной, потому что при замене \( x \) на \( -x \): \[ y(-x) = \frac{2}{-x+1} \] Это не равно \( y(x) \) или \( -y(x) \), следовательно, функция **не является** четной или нечетной. --- ### 5. Промежутки возрастания и убывания Для определения ищем производную: \[ y = \frac{2}{x+1} \] Производная: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x+1} \right) \] Используем правило дифференцирования дроби (или запишем: \[ y = 2 (x+1)^{-1} \] тогда: \[ y' = 2 \cdot (-1) (x+1)^{-2} = - \frac{2}{(x+1)^2} \] - Производная \( y' \) всегда отрицательна, кроме точки \( x = -1 \), где она не определена. - Значит, функция убывает на всей своей области определения. **Ответ:** - Функция убывает на интервале: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) - Нет интервалов возрастания --- ### 6. Значения функции при \( x = 3 \) и \( x = -1 \) - при \( x=3 \): \[ y = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4} = 0.5 \] - при \( x=-1 \): Функция не определена (знаменатель равен нулю). **Ответ:** - \( y(3) = 0.5 \) - при \( x = -1 \) функция не существует. --- ## Итоговый ответ: - **Область определения:** \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) - **Область значений:** \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) - **График:** гипербола с вертикальной асимптотой \( x=-1 \) и горизонтальной \( y=0 \) - **Четность:** функция нечетная или четная - **Промежутки возрастания/убывания:** функция убывает на всей области - **Значения при \( x=3 \):** 0.5 - **Значение при \( x=-1 \):** не существует. Если нужно дополнительно построить график или объяснить еще что-то — скажите!