Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Задача:
На собрании из 25 человек, из них 5 женщин и 20 мужчин, выбирается делегация из 3 человек.
Требуется найти вероятность того, что в выбранной делегации будет именно 2 женщины и 1 мужчина.
Шаг 1. Общее число способов выбрать делегацию из 25 человек
Общее количество способов выбрать 3 человек из 25 — это сочетание:
[
C_{25}^{3} = \frac{25!}{3! \times (25 - 3)!}
]
Посчитаем:
[
C_{25}^{3} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = \frac{13800}{6} = 2300
]
Шаг 2. Число благоприятных вариантов
Нас интересуют варианты, где в делегации 2 женщины и 1 мужчина.
- Количество способов выбрать 2 женщин из 5:
[
C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10
]
- Количество способов выбрать 1 мужчину из 20:
[
C_{20}^{1} = 20
]
- Общее число вариантов, где есть 2 женщины и 1 мужчина:
[
C_{5}^{2} \times C_{20}^{1} = 10 \times 20 = 200
]
Шаг 3. Вычисление вероятности
Вероятность того, что в случайном выборе 3 человек будет ровно 2 женщины и 1 мужчина:
[
P = \frac{\text{число благоприятных вариантов}}{\text{общее число вариантов}} = \frac{200}{2300}
]
Упростим дробь:
[
\frac{200}{2300} = \frac{20}{230} = \frac{2}{23}
]
Ответ:
Вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина — (\boxed{\frac{2}{23}}).
