Требуется для пластичного и хрупкого материала определить коэффициенты запаса прочности заданного элемента объема. Дано: σx=20 МПа; σy=−20 МПа; σz=90 МПа; τzy=70 МПа. Свойства…
Требуется для пластичного и хрупкого материала определить коэффициенты запаса прочности заданного элемента объема. Дано: σx=20 МПа; σy=−20 МПа; σz=90 МПа; τzy=70 МПа. Свойства материалов: а) σт=295 МПа (Сталь 30); б) σвр=350 МПа, σвс=1200 МПа (чугун ВЧ). а) Для пластичного материала коэффициент запаса по критерию пластичности Треска-Сен-Венана равен ... (ответ приведите с точностью до 3-х значащих цифр) Ответ:
Давайте разберемся с поставленной задачей и подробно решим её.
Входные данные:
Напряжения:
- σₓ = 20 МПа
- σ_y = -20 МПа
- σ_z = 90 МПа
- τᶻʸ = 70 МПа
Свойства материалов:
а) Сталь 30: σₜ = 295 МПа
б) Чугун ВЧ: σвр = 350 МПа, σвс = 1200 МПа
Цель:
Определить коэффициент запаса прочности по критерию пластичности Треска-Сен-Венана для пластичного материала (сталь).
Основные идеи:
Критерий Треска-Сен-Венана:
\[ \sqrt{J_3 + \frac{\sigma_{\text{т}}^2}{3}} = 0 \]
где \( J_3 \) — третий основной инвариант третьего порядка тензора напряжений.
Но более распространенная форма для оценки запаса по критерию Треска — с использованием среднего напряжения и максимальных сдвиговых напряжений.
Расчет коэффициента запаса по критерию Треска-Сен-Венана:
Формула для пластичных материалов (по Треска-Сен-Венана):
\[ K = \frac{\sigma_{\text{уст}}}{\sigma_{max}} \]
где:
- \( \sigma_{max} \) — интенсивность напряжений (комбинированное напряжение),
- \( \sigma_{уст} \) — допустимое напряжение, равное \(\sigma_t\).
Более точное выражение для критерия Треска-Сен-Венана в рамках заданных напряжений:
\[ K = \frac{\sigma_t}{\sigma_{\text{экв}}} \]
где \(\sigma_{\text{экв}}\) — эквивалентное напряжение по Треска-Сен-Венана, которое для трехмерных условий считается через главный напряжения или через инварианты.
Шаг 1. Определение главных напряжений:
Для дифференцированного напряженного состояния:
\[ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \]
Из условий знаем тензор напряжений (в компонентах):
\[ \begin{cases} \sigma_x = 20\, \text{МПа} \\ \sigma_y = -20\, \text{МПа} \\ \sigma_z = 90\, \text{МПа} \\ \text{τ}_zy = 70\, \text{МПа} \end{cases} \]
Наиболее опасным состоянием являются главные напряжения. Для вычисления главных напряжений в трехмерной ситуации используют характеристическое уравнение:
\[ \det(\sigma_{ij} - \sigma \delta_{ij}) = 0 \]
или, более удобно, используют формулы для трехмерных напряжений:
\[ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_y - \sigma_z}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_z - \sigma_x}{2} \right)^2 + 3 \tau_{zy}^2} \]
или через собственные значения тензора напряжений.
Шаг 2. Расчет главных напряжений
Подставим значения:
\[ \text{Среднее:} \quad \sigma_m = \frac{20 + (-20) + 90}{3} = \frac{90}{3} = 30\, \text{МПа} \]
Для определения главных напряжений, используем формулу:
\[ \sigma_{1,2,3} = \sigma_m \pm R \]
где
\[ R = \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_y - \sigma_z}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_z - \sigma_x}{2} \right)^2 + 3 \tau_{zy}^2} \]
Посчитаем:
\[ \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{20 - (-20)}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] \[ \frac{\sigma_y - \sigma_z}{2} = \frac{-20 - 90}{2} = \frac{-110}{2} = -55 \] \[ \frac{\sigma_z - \sigma_x}{2} = \frac{90 - 20}{2} = \frac{70}{2} = 35 \]
Теперь:
\[ R = \sqrt{20^2 + (-55)^2 + 35^2 + 3 \times 70^2} = \sqrt{400 + 3025 + 1225 + 3 \times 4900} \]
\[ = \sqrt{400 + 3025 + 1225 + 14700} = \sqrt{400 + 3025 + 1225 + 14700} \]
Сумма:
\[ 400 + 3025 = 3425 \] \[ 3425 + 1225 = 4650 \] \[ 4650 + 14700 = 19350 \]
Итак:
\[ R = \sqrt{19350} \approx 139.07\, \text{МПа} \]
Следовательно, главные напряжения:
\[ \sigma_1 = 30 + 139.07 \approx 169.07\, \text{МПа} \] \[ \sigma_2 = 30 - 139.07 \approx -109.07\, \text{МПа} \] \[ \sigma_3 = 30 \text{ (внутри максимум и минимум, по сути, равен среднему в случае симметрии)} \]
(или же из собственных значений тензора — по сути взглянем на самые опасные — максимум и минимум).
Шаг 3. Расчет эквивалентного напряжения по Треска-Сен-Венана:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \sigma_1 \sigma_2 - \sigma_2 \sigma_3 - \sigma_3 \sigma_1} \]
или для упрощения, используют наиболее опасное напряжение:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \]
Посчитаем через эти разницы.
Разницы:
\[ \sigma_1 - \sigma_2 = 169.07 - (-109.07) = 278.14\, \text{МПа} \] \[ \sigma_2 - \sigma_3 = -109.07 - 30 = -139.07\, \text{МПа} \] \[ \sigma_3 - \sigma_1 = 30 - 169.07 = -139.07\, \text{МПа} \]
Квадраты:
\[ (278.14)^2 \approx 77357 \] \[ (139.07)^2 \approx 19327 \]
Значит:
\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\frac{77357 + 19327 + 19327}{2}} = \sqrt{\frac{115011}{2}} = \sqrt{57505.5} \approx 239.97\, \text{МПа} \]
Шаг 4. Расчет коэффициента запаса:
\[ K = \frac{\sigma_t}{\sigma_{экв}} = \frac{295\, \text{МПа}}{239.97\, \text{МПа}} \approx 1.231 \]
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{1.23} \]
(с точностью до 3-х знаков после запятой).
Если потребуется описание для другого материала или более точное или иное применение критерия — скажите.
