Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Объем выборки ( n = 100 )
- Выборочное среднее ( \bar{x} = 52,1 ) мм
- Истинное стандартное отклонение (предварительно известное) ( \sigma = 2 ) мм
- Надежность ( 1 - \alpha = 0,99 )
Задача:
Найти доверительный интервал для математического ожидания ( \mu ) с надежностью 0,99.
Шаг 1. Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон значений, в котором с заданной вероятностью (надежностью) содержится истинное значение математического ожидания ( \mu ).
Для известного стандартного отклонения ( \sigma ) и большого объема выборки (здесь ( n=100 )), используется стандартное нормальное распределение ( Z ).
Шаг 2. Формула доверительного интервала
Для известного ( \sigma ) доверительный интервал для среднего :
[
\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
]
где:
- ( z_{\alpha/2} ) — критическое значение стандартного нормального распределения для уровня надежности ( 1-\alpha ),
- ( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ) — стандартная ошибка среднего.
Шаг 3. Определить ( z_{\alpha/2} ) для ( \alpha=0,01 )
Так как надежность равна 0,99, то:
[
\alpha = 1 - 0,99 = 0,01
]
и
[
\alpha/2 = 0,005
]
Нам нужно найти ( z_{0,005} ) — значение стандартного нормального распределения, которое оставляет 0,5% вероятности в хвосте справа и слева соответственно.
Из таблицы стандартного нормального распределения или с помощью калькулятора:
[
z_{0,005} \approx 2,576
]
Шаг 4. Вычислить стандартную ошибку среднего
[
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2
]
Шаг 5. Построить доверительный интервал
Пойдем по формуле:
[
\left( 52,1 - 2,576 \times 0,2, \quad 52,1 + 2,576 \times 0,2 \right)
]
Вычислим границы:
[
\text{Нижняя граница} = 52,1 - 2,576 \times 0,2 = 52,1 - 0,5152 \approx 51,5848
]
[
\text{Верхняя граница} = 52,1 + 0,5152 \approx 52,6152
]
Ответ:
Доверительный интервал для математического ожидания диаметра валиков с надежностью 0,99:
[
\boxed{
(51,58 \text{ мм} ; 52,62 \text{ мм})
}
]
(округлено до двух знаков после запятой).
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по какому-либо шагу — обращайтесь!
