Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков равное 52,1 мм. Найдите с надежностью 0,99 доверительный…
Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков равное 52,1 мм. Найдите с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки математического ожидания диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение 𝜎=2 мм.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Объем выборки \( n = 100 \)
- Выборочное среднее \( \bar{x} = 52,1 \) мм
- Истинное стандартное отклонение (предварительно известное) \( \sigma = 2 \) мм
- Надежность \( 1 - \alpha = 0,99 \)
Задача: Найти доверительный интервал для математического ожидания \( \mu \) с надежностью 0,99.
Шаг 1. Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон значений, в котором с заданной вероятностью (надежностью) содержится истинное значение математического ожидания \( \mu \).
Для известного стандартного отклонения \( \sigma \) и большого объема выборки (здесь \( n=100 \)), используется стандартное нормальное распределение \( Z \).
Шаг 2. Формула доверительного интервала
Для известного \( \sigma \) доверительный интервал для среднего :
\[ \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
где:
- \( z_{\alpha/2} \) — критическое значение стандартного нормального распределения для уровня надежности \( 1-\alpha \),
- \( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) — стандартная ошибка среднего.
Шаг 3. Определить \( z_{\alpha/2} \) для \( \alpha=0,01 \)
Так как надежность равна 0,99, то:
\[ \alpha = 1 - 0,99 = 0,01 \]
и
\[ \alpha/2 = 0,005 \]
Нам нужно найти \( z_{0,005} \) — значение стандартного нормального распределения, которое оставляет 0,5% вероятности в хвосте справа и слева соответственно.
Из таблицы стандартного нормального распределения или с помощью калькулятора:
\[ z_{0,005} \approx 2,576 \]
Шаг 4. Вычислить стандартную ошибку среднего
\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2 \]
Шаг 5. Построить доверительный интервал
Пойдем по формуле:
\[ \left( 52,1 - 2,576 \times 0,2, \quad 52,1 + 2,576 \times 0,2 \right) \]
Вычислим границы:
\[ \text{Нижняя граница} = 52,1 - 2,576 \times 0,2 = 52,1 - 0,5152 \approx 51,5848 \]
\[ \text{Верхняя граница} = 52,1 + 0,5152 \approx 52,6152 \]
Ответ:
Доверительный интервал для математического ожидания диаметра валиков с надежностью 0,99:
\[ \boxed{ (51,58 \text{ мм} ; 52,62 \text{ мм}) } \]
(округлено до двух знаков после запятой).
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по какому-либо шагу — обращайтесь!
