Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99…
Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99 среднее количество сделок на бирже за неделю по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Введите исправленное среднее квадратическое отклонение (ответ округлите с точностью до 10-2). Целую часть числа от дробной отделяйте запятой.
Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно, чтобы понять, как найти исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО) для выборочной средней и построить доверительный интервал с надежностью 0,99.
Шаг 1. Данные задачи
Имеем таблицу по неделе, где:
| № дня | Количество сделок (X_i) | Количество инвесторов (n_i) |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 4 |
| 1 | 6 | 6 |
| 2 | 8 | 8 |
| 3 | 7 | 7 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 3 | 3 |
| 6 | 2 | 2 |
| 7 | 1 | 1 |
Нам нужно:
- Оценить среднее количество сделок на бирже за неделю (по выборке).
- Построить доверительный интервал с уровнем надежности 0,99 (то есть 99%).
Шаг 2. Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию
2.1. Общая выборочная сумма сделок
Так как у нас есть сделки по каждому из 8 дней, можем вычислить среднее:
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \]
где \( n = 8 \).
Сумма:
\[ \sum_{i=1}^{8} x_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35 \]
Среднее:
\[ \bar{x} = \frac{35}{8} = 4,375 \]
2.2. Найдем выборочную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО)
Дисперсия оценивается по формуле:
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
Посчитаем отклонения и их квадраты:
| \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) |
|---|---|---|
| 4 | \( 4 - 4,375 = -0,375 \) | \( (-0,375)^2 = 0,1406 \) |
| 6 | \( 6 - 4,375 = 1,625 \) | \( (1,625)^2 = 2,6406 \) |
| 8 | \( 8 - 4,375 = 3,625 \) | \( (3,625)^2 = 13,1406 \) |
| 7 | \( 7 - 4,375 = 2,625 \) | \( (2,625)^2 = 6,8906 \) |
| 4 | \( 4 - 4,375 = -0,375 \) | \( 0,1406 \) (повтор) |
| 3 | \( 3 - 4,375 = -1,375 \) | \( 1,8906 \) |
| 2 | \( 2 - 4,375 = -2,375 \) | \( 5,6406 \) |
| 1 | \( 1 - 4,375 = -3,375 \) | \( 11,3906 \) |
Теперь сумма квадратов:
\[ S = 0,1406 + 2,6406 + 13,1406 + 6,8906 + 0,1406 + 1,8906 + 5,6406 + 11,3906 \] \[ S \approx 41,833 \]
Дисперсия:
\[ s^2 = \frac{S}{n-1} = \frac{41,833}{7} \approx 5,976 \]
Аналогично, исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО):
\[ s = \sqrt{5,976} \approx 2,44 \]
Шаг 3. Построение доверительного интервала для среднего
Для построения доверительного интервала используют формулу:
\[ \bar{x} \pm t_{0,995, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
где:
- \(\bar{x} = 4,375\), — выборочное среднее,
- \(s \approx 2,44\), — исправленное среднее квадратическое отклонение,
- \(n=8\), — размер выборки,
- \(t_{0,995, 7}\) — квантиль t-распределения с уровнем доверия 0,99 и степенями свободы 7.
3.1. Определение \( t_{0,995, 7} \)
По таблице t-распределения:
\[ t_{0,995, 7} \approx 3,499 \]
(точное значение — примерно 3,499).
3.2. Расчет доверительного интервала
Погрешность:
\[ E = t_{0,995,7} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 3,499 \times \frac{2,44}{\sqrt{8}} \approx 3,499 \times 0,863 = 3,024 \]
Довертельный интервал:
\[ (4,375 - 3,024 ; 4,375 + 3,024) = (1,351 ; 7,399) \]
Итог:
- Исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО):
\[ \boxed{2.44} \]
- Доверительный интервал для среднего количества сделок на бирже за неделю (с надежностью 0.99):
\[ (1,35 ; 7,40) \]
Если нужно, я могу помочь с дополнительными расчетами или объяснить подробнее любую часть.
