Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно, чтобы понять, как найти исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО) для выборочной средней и построить доверительный интервал с надежностью 0,99.
Шаг 1. Данные задачи
Имеем таблицу по неделе, где:
| № дня |
Количество сделок (X_i) |
Количество инвесторов (n_i) |
| 0 |
4 |
4 |
| 1 |
6 |
6 |
| 2 |
8 |
8 |
| 3 |
7 |
7 |
| 4 |
4 |
4 |
| 5 |
3 |
3 |
| 6 |
2 |
2 |
| 7 |
1 |
1 |
Нам нужно:
- Оценить среднее количество сделок на бирже за неделю (по выборке).
- Построить доверительный интервал с уровнем надежности 0,99 (то есть 99%).
Шаг 2. Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию
2.1. Общая выборочная сумма сделок
Так как у нас есть сделки по каждому из 8 дней, можем вычислить среднее:
[
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
]
где ( n = 8 ).
Сумма:
[
\sum_{i=1}^{8} x_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35
]
Среднее:
[
\bar{x} = \frac{35}{8} = 4,375
]
2.2. Найдем выборочную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО)
Дисперсия оценивается по формуле:
[
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
]
Посчитаем отклонения и их квадраты:
| ( x_i ) |
( x_i - \bar{x} ) |
( (x_i - \bar{x})^2 ) |
| 4 |
( 4 - 4,375 = -0,375 ) |
( (-0,375)^2 = 0,1406 ) |
| 6 |
( 6 - 4,375 = 1,625 ) |
( (1,625)^2 = 2,6406 ) |
| 8 |
( 8 - 4,375 = 3,625 ) |
( (3,625)^2 = 13,1406 ) |
| 7 |
( 7 - 4,375 = 2,625 ) |
( (2,625)^2 = 6,8906 ) |
| 4 |
( 4 - 4,375 = -0,375 ) |
( 0,1406 ) (повтор) |
| 3 |
( 3 - 4,375 = -1,375 ) |
( 1,8906 ) |
| 2 |
( 2 - 4,375 = -2,375 ) |
( 5,6406 ) |
| 1 |
( 1 - 4,375 = -3,375 ) |
( 11,3906 ) |
Теперь сумма квадратов:
[
S = 0,1406 + 2,6406 + 13,1406 + 6,8906 + 0,1406 + 1,8906 + 5,6406 + 11,3906
]
[
S \approx 41,833
]
Дисперсия:
[
s^2 = \frac{S}{n-1} = \frac{41,833}{7} \approx 5,976
]
Аналогично, исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО):
[
s = \sqrt{5,976} \approx 2,44
]
Шаг 3. Построение доверительного интервала для среднего
Для построения доверительного интервала используют формулу:
[
\bar{x} \pm t_{0,995, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
]
где:
- (\bar{x} = 4,375), — выборочное среднее,
- (s \approx 2,44), — исправленное среднее квадратическое отклонение,
- (n=8), — размер выборки,
- (t_{0,995, 7}) — квантиль t-распределения с уровнем доверия 0,99 и степенями свободы 7.
3.1. Определение ( t_{0,995, 7} )
По таблице t-распределения:
[
t_{0,995, 7} \approx 3,499
]
(точное значение — примерно 3,499).
3.2. Расчет доверительного интервала
Погрешность:
[
E = t_{0,995,7} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 3,499 \times \frac{2,44}{\sqrt{8}} \approx 3,499 \times 0,863 = 3,024
]
Довертельный интервал:
[
(4,375 - 3,024 ; 4,375 + 3,024) = (1,351 ; 7,399)
]
Итог:
- Исправленное среднее квадратическое отклонение (СКО):
[
\boxed{2.44}
]
- Доверительный интервал для среднего количества сделок на бирже за неделю (с надежностью 0.99):
[
(1,35 ; 7,40)
]
Если нужно, я могу помочь с дополнительными расчетами или объяснить подробнее любую часть.
