Рассмотрим данный интеграл:
[
\int_{2}^{10} \frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}} , dx
]
Обозначим подкоренное выражение и упростим его:
- Запишем выражение под знаком интеграла в более удобной форме:
[
\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}} = ( (x-2)^2 )^{-1/3} = |x-2|^{-2/3}
]
Так как интеграл идет по отрезку [2,10], где (x \geq 2), то (x-2 \geq 0), а значит:
[
|x-2| = x-2
]
Итак, выражение упрощается до:
[
(x-2)^{-2/3}
]
- Перепишем интеграл:
[
\int_{2}^{10} (x-2)^{-2/3} , dx
]
- Выполним замену переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть:
[
t = x - 2 \Rightarrow dt = dx
]
Когда (x = 2), то (t = 0), а при (x = 10), (t = 8). Следовательно:
[
\int_{0}^{8} t^{-2/3} , dt
]
- Проинтегрируем:
[
\int t^{p} , dt = \frac{t^{p+1}}{p+1} + C, \quad p \neq -1
]
Здесь:
[
p = -\frac{2}{3}
]
Тогда:
[
p + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}
]
Следовательно, интеграл:
[
\int_{0}^{8} t^{-2/3} , dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]{0}^{8} = 3 t^{1/3} \bigg|{0}^{8}
]
- Подставляем границы:
[
= 3 \left(8^{1/3} - 0^{1/3}\right)
]
Так как:
[
8^{1/3} = 2
]
и:
[
0^{1/3} = 0
]
то получаем:
[
= 3 \times (2 - 0) = 6
]
Итог:
Интеграл сходится и его значение равно 6.
Если нужны дополнительные разъяснения или объяснение о свойствах несобственных интегралов, я готов помочь!
