вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость \int _2^{10}\frac{1}{\left(\sqrt[3]{\left(x-2\right)^2}\right)}dx
Рассмотрим данный интеграл:
\[ \int_{2}^{10} \frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}} \, dx \]
Обозначим подкоренное выражение и упростим его:
- Запишем выражение под знаком интеграла в более удобной форме:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}} = ( (x-2)^2 )^{-1/3} = |x-2|^{-2/3} \]
Так как интеграл идет по отрезку [2,10], где \(x \geq 2\), то \(x-2 \geq 0\), а значит:
\[ |x-2| = x-2 \]
Итак, выражение упрощается до:
\[ (x-2)^{-2/3} \]
- Перепишем интеграл:
\[ \int_{2}^{10} (x-2)^{-2/3} \, dx \]
- Выполним замену переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть:
\[ t = x - 2 \Rightarrow dt = dx \]
Когда \(x = 2\), то \(t = 0\), а при \(x = 10\), \(t = 8\). Следовательно:
\[ \int_{0}^{8} t^{-2/3} \, dt \]
- Проинтегрируем:
\[ \int t^{p} \, dt = \frac{t^{p+1}}{p+1} + C, \quad p \neq -1 \]
Здесь:
\[ p = -\frac{2}{3} \]
Тогда:
\[ p + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \]
Следовательно, интеграл:
\[ \int_{0}^{8} t^{-2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]_{0}^{8} = 3 t^{1/3} \bigg|_{0}^{8} \]
- Подставляем границы:
\[ = 3 \left(8^{1/3} - 0^{1/3}\right) \]
Так как:
\[ 8^{1/3} = 2 \] и:
\[ 0^{1/3} = 0 \]
то получаем:
\[ = 3 \times (2 - 0) = 6 \]
Итог:
Интеграл сходится и его значение равно 6.
Если нужны дополнительные разъяснения или объяснение о свойствах несобственных интегралов, я готов помочь!
