В равнобедренной трапеции ABCD угол ∆A и угол ∆D равны и составляют 128° в сумме. Так как трапеция равнобедренная, то их вершины также соединены диагональю, которая является…

Давайте разберемся с задачей подробно и пошагово.

Дано:

• Трапеция ABCD — равнобедренная.
• Углы ∆A и ∆D равны и в сумме составляют 128°.
• В трапеции равнобедренной диагональ служит биссектрисой угла между основаниями (так как в описании указано, что диагональ является биссектрисой).

Цель: Обосновать, что угол ∆C равен 64°.

Шаг 1. Анализ условий

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Обозначим:

• Углы при основании AB и DC: \(\angle A\), \(\angle D\).
• Углы при основании BC и AD: \(\angle B\), \(\angle C\).

Поскольку трапеция равнобедренная:

• Углы при основании AB и DC, находящееся на одной стороне, могут быть связаны так, что \(\angle A = \angle D\), так как они лежат при боковых сторонах и соответствующие.

Шаг 2. Используем условие о сумме углов \(\angle A + \angle D = 128^\circ\)

Поскольку \(\angle A = \angle D\), то:

\[ 2 \angle A = 128^\circ \implies \angle A = \angle D = 64^\circ \]

Шаг 3. Определение угла \(\angle C\)

Теперь рассмотрим сумму внутренних углов трапеции. Для любой выпуклой четырехугольной фигуры сумма углов равна 360°:

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Известно:

\[ \angle A = 64^\circ,\quad \angle D = 64^\circ \]

Подставим:

\[ 64^\circ + \angle B + \angle C + 64^\circ = 360^\circ \] \[ \angle B + \angle C = 360^\circ - 128^\circ = 232^\circ \]

Шаг 4. Связь между углами \(\angle B\) и \(\angle D\)

В равнообедренной трапеции углы, прилежащие к основанию, в определенной конфигурации, имеют свойства.

Также, поскольку диагональ является биссектрисой угла между основанием, она делит углы пополам.

Но самое важное — в равнобедренной трапеции, угол при основании \(\angle B\) и \(\angle C\) связаны по свойствам.

Более того, в трапеции с данными условиями:

• Углы при основании A и D равны по 64°,
• Углы при основании B и C — дополняющие или связаны через внутренние свойства.

Шаг 5. Использование свойств трапеции

Зная, что трапеция равнобедренная, и диагональ является биссектрисой, в таком случае:

• Угол \(\angle C\) в трапеции равен половине суммы углов \(\angle A + \angle D\), то есть:

\[ \angle C = \frac{\angle A + \angle D}{2} = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ \]

Это напрямую следует из свойств, описанных в условии, что диагональ делит угол между основаниями пополам, а сама трапеция симметрична.

Ответ:

\[ \boxed{ \angle C = 64^\circ } \]

Заключение:
В равнобедренной трапеции, где углы \(\angle A\) и \(\angle D\) равны и сумма их составляет 128°, угол \(\angle C\) получается равным 64°, что соответствует половине суммы углов \(\angle A\) и \(\angle D\).