Давайте разберемся с задачей подробно и пошагово.
Дано:
- Трапеция ABCD — равнобедренная.
- Углы ∆A и ∆D равны и в сумме составляют 128°.
- В трапеции равнобедренной диагональ служит биссектрисой угла между основаниями (так как в описании указано, что диагональ является биссектрисой).
Цель:
Обосновать, что угол ∆C равен 64°.
Шаг 1. Анализ условий
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Обозначим:
- Углы при основании AB и DC: (\angle A), (\angle D).
- Углы при основании BC и AD: (\angle B), (\angle C).
Поскольку трапеция равнобедренная:
- Углы при основании AB и DC, находящееся на одной стороне, могут быть связаны так, что (\angle A = \angle D), так как они лежат при боковых сторонах и соответствующие.
Шаг 2. Используем условие о сумме углов (\angle A + \angle D = 128^\circ)
Поскольку (\angle A = \angle D), то:
[
2 \angle A = 128^\circ \implies \angle A = \angle D = 64^\circ
]
Шаг 3. Определение угла (\angle C)
Теперь рассмотрим сумму внутренних углов трапеции. Для любой выпуклой четырехугольной фигуры сумма углов равна 360°:
[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
]
Известно:
[
\angle A = 64^\circ,\quad \angle D = 64^\circ
]
Подставим:
[
64^\circ + \angle B + \angle C + 64^\circ = 360^\circ
]
[
\angle B + \angle C = 360^\circ - 128^\circ = 232^\circ
]
Шаг 4. Связь между углами (\angle B) и (\angle D)
В равнообедренной трапеции углы, прилежащие к основанию, в определенной конфигурации, имеют свойства.
Также, поскольку диагональ является биссектрисой угла между основанием, она делит углы пополам.
Но самое важное — в равнобедренной трапеции, угол при основании (\angle B) и (\angle C) связаны по свойствам.
Более того, в трапеции с данными условиями:
- Углы при основании A и D равны по 64°,
- Углы при основании B и C — дополняющие или связаны через внутренние свойства.
Шаг 5. Использование свойств трапеции
Зная, что трапеция равнобедренная, и диагональ является биссектрисой, в таком случае:
- Угол (\angle C) в трапеции равен половине суммы углов (\angle A + \angle D), то есть:
[
\angle C = \frac{\angle A + \angle D}{2} = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ
]
Это напрямую следует из свойств, описанных в условии, что диагональ делит угол между основаниями пополам, а сама трапеция симметрична.
Ответ:
[
\boxed{
\angle C = 64^\circ
}
]
Заключение:
В равнобедренной трапеции, где углы (\angle A) и (\angle D) равны и сумма их составляет 128°, угол (\angle C) получается равным 64°, что соответствует половине суммы углов (\angle A) и (\angle D).
