Рассмотрим задачу о числе попаданий в мишень при трех выстрелах, где вероятность попадания при одном выстреле равна ( p = \frac{2}{3} ).
1. Закон распределения случайной величины ( X )
Переменная ( X ) — число попаданий в мишень за 3 выстрела, и она принимает значения ( x = 0, 1, 2, 3 ).
Так как каждый выстрел — независимая попытка с одинаковой вероятностью попадания, то ( X ) имеет биномиальное распределение:
[
P(X = x) = C_{3}^{x} p^{x} (1 - p)^{3 - x}
]
где ( C_{3}^{x} ) — биномиальный коэффициент.
Подставим значения:
[
C_{3}^{1} \left(\frac{2}{3}\right)^{1} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 3 \times \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}
]
[
C_{3}^{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}
]
[
C_{3}^{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \left(\frac{8}{27}\right) \times 1 = \frac{8}{27}
]
Итак, полный закон распределения:
| ( x ) |
0 |
1 |
2 |
3 |
| ( P(X=x) ) |
( \frac{1}{27} ) |
( \frac{2}{9} ) |
( \frac{4}{9} ) |
( \frac{8}{27} ) |
2. Математическое ожидание ( E[X] )
Для биномиального распределения:
[
E[X] = np = 3 \times \frac{2}{3} = 2
]
3. Дисперсия ( D[X] )
Формула дисперсии биномиального распределения:
[
D[X] = np(1 - p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \left(1 - \frac{2}{3}\right) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]
4. Среднее квадратическое отклонение ( \sigma )
[
\sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165
]
Итог:
- Закон распределения:
[
\boxed{
P(X = x) = C_{3}^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{3 - x}
}
]
- Математическое ожидание: ( E[X] = 2 )
- Дисперсия: ( D[X] = \frac{2}{3} )
- Среднее квадратическое отклонение: ( \sigma \approx 0.8165 )
Если нужно ещё что-то пояснить или дополнить, скажите!
