составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий в мишель при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. найти…

Рассмотрим задачу о числе попаданий в мишень при трех выстрелах, где вероятность попадания при одном выстреле равна \( p = \frac{2}{3} \).

1. Закон распределения случайной величины \( X \)

Переменная \( X \) — число попаданий в мишень за 3 выстрела, и она принимает значения \( x = 0, 1, 2, 3 \).

Так как каждый выстрел — независимая попытка с одинаковой вероятностью попадания, то \( X \) имеет биномиальное распределение:

\[ P(X = x) = C_{3}^{x} p^{x} (1 - p)^{3 - x} \]

где \( C_{3}^{x} \) — биномиальный коэффициент.

Подставим значения:

• \( P(X = 0) \): \[ C_{3}^{0} \left(\frac{2}{3}\right)^{0} \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = 1 \times 1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \]

• \( P(X = 1) \):

\[ C_{3}^{1} \left(\frac{2}{3}\right)^{1} \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 3 \times \frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \]

• \( P(X = 2) \):

\[ C_{3}^{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \]

• \( P(X = 3) \):

\[ C_{3}^{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \left(\frac{8}{27}\right) \times 1 = \frac{8}{27} \]

Итак, полный закон распределения:

2. Математическое ожидание \( E[X] \)

Для биномиального распределения:

\[ E[X] = np = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \]

3. Дисперсия \( D[X] \)

Формула дисперсии биномиального распределения:

\[ D[X] = np(1 - p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \left(1 - \frac{2}{3}\right) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

4. Среднее квадратическое отклонение \( \sigma \)

\[ \sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165 \]

Итог:

• Закон распределения:
  \[ \boxed{ P(X = x) = C_{3}^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{3 - x} } \]
• Математическое ожидание: \( E[X] = 2 \)
• Дисперсия: \( D[X] = \frac{2}{3} \)
• Среднее квадратическое отклонение: \( \sigma \approx 0.8165 \)

Если нужно ещё что-то пояснить или дополнить, скажите!