Материальная точка движется со скоростью V(t)=t+2t^2-2. Найдите путь, пройденный точкой за вторую секунду

Для решения задачи нужно найти путь, пройденный точкой за вторую секунду.

Дано: \[ V(t) = t + 2t^2 - 2 \]

Шаг 1: Определим, что такое путь.
Путь — это интеграл скорости по времени. То есть, чтобы найти пройденное расстояние за интервал времени \( t_1 \) до \( t_2 \), нужно вычислить определенный интеграл скорости на этом интервале: \[ S = \int_{t_1}^{t_2} V(t) \, dt \]

Здесь мы ищем путь за вторую секунду, то есть с \( t=1 \) до \( t=2 \).

Шаг 2: Запишем интеграл для нужного интервала: \[ S = \int_{1}^{2} (t + 2t^2 - 2) \, dt \]

Шаг 3: Выполним интегрирование по частям: \[ S = \int_{1}^{2} t \, dt + 2 \int_{1}^{2} t^2 \, dt - 2 \int_{1}^{2} 1 \, dt \]

Рассчитаем каждый из них отдельно:

а) \(\int t \, dt = \frac{t^2}{2}\)

б) \(\int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3}\)

в) \(\int 1 \, dt = t\)

Шаг 4: Подставим пределы интегрирования и посчитаем каждое слагаемое:

\[ S = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{1}^{2} + 2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{2} - 2 [t]_{1}^{2} \]

Определим каждое значение:

• \(\frac{(2)^2}{2} - \frac{(1)^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5\)

• \(2 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 2 \times \frac{7}{3} = \frac{14}{3}\)

• \(2 - 1 = 1\), а умножая на -2, получаем: \(-2 \times 1 = -2\)

Шаг 5: Сложим все результаты: \[ S = 1.5 + \frac{14}{3} - 2 \]

Для удобства сложим с дробями, переведем 1.5 и 2 в дроби с общим знаменателем 3:

• \(1.5 = \frac{3}{2} = \frac{9}{6}\), но лучше оставить как есть или привести к дроби с знаменателем 3:

\[ 1.5 = \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \]

Но \(\frac{14}{3}\) уже в нужном виде, а 2 в дроби: \[ 2 = \frac{6}{3} \]

тогда:

\[ S = \frac{9}{6} + \frac{14}{3} - \frac{6}{3} \]

Приведем все к общему знаменателю 6:

\[ \frac{9}{6} + \frac{28}{6} - \frac{12}{6} = \frac{9 + 28 - 12}{6} = \frac{25}{6} \]

Итак, путь за вторую секунду равен: \[ \boxed{\frac{25}{6} \text{ единиц}} \]

Если нужно более компактное числовое значение — это примерно 4.17.