Давайте разберём задачу подробно.
Дано:
Период полураспада радиоактивного препарата: ( T_{1/2} )
Время: ( t = 3.2 \cdot T_{1/2} )
Нужно найти, какая часть первоначальных атомов распадётся за это время, выражая ответ в процентах.
Шаг 1: Связь между распадом и периодом полураспада
Число оставшихся атомов после времени ( t ) определяется формулой:
[
N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
где:
- ( N_0 ) — начальное количество атомов,
- ( N(t) ) — количество оставшихся атомов после времени ( t ).
Часть распавшихся атомов будет:
[
\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Шаг 2: Подставляем значение времени ( t )
Время:
[
t = 3.2 \cdot T_{1/2}
]
Тогда:
[
\frac{t}{T_{1/2}} = 3.2
]
Итак, часть распавшихся атомов:
[
P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{3.2}
]
Шаг 3: Вычисление (\left(\frac{1}{2}\right)^{3.2})
Рассчитаем:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{3.2} = 2^{-3.2} = e^{-3.2 \ln 2}
]
Значение ( \ln 2 \approx 0.6931 ), поэтому:
[
2^{-3.2} = e^{-3.2 \times 0.6931} \approx e^{-2.2179}
]
Теперь вычислим ( e^{-2.2179} ):
[
e^{-2.2179} \approx 0.108
]
(используя калькулятор или таблицу)
Шаг 4: Подсчёт распавшихся атомов
Значит:
[
P \approx 1 - 0.108 = 0.892
]
Это — доля распавшихся атомов. В процентах:
[
0.892 \times 100% \approx 89.2%
]
Ответ:
За время ( 3.2 \cdot T_{1/2} ) распится примерно 89.2% атомов радиоактивного препарата.
