Исследовать на экстремум функцию z = 2x3 + 2y3 – 36xy + 430.

Давайте подробно рассмотрим задачу: исследовать функцию \( z = 2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430 \) на экстремум. Я выполню пошаговое решение с объяснениями. --- ## Шаг 1: Нахождение частных производных Чтобы найти экстремумы функции двух переменных, нужно найти её критические точки — точки, где частные производные равны нулю. Вычислим частные производные по \(x\) и \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430) = 6x^2 - 36y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430) = 6y^2 - 36x \] --- ## Шаг 2: Находим критические точки Решим систему уравнений: \[ 6x^2 - 36y = 0 \quad (1) \] \[ 6y^2 - 36x = 0 \quad (2) \] Упростим систему, разделив каждое уравнение на 6: \[ x^2 - 6y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 6y \quad (3) \] \[ y^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 6x \quad (4) \] Теперь подставим из (3) в (4): Из (3): \( y = \frac{x^2}{6} \) Подставим в (4): \[ \left(\frac{x^2}{6}\right)^2 = 6x \] \[ \frac{x^4}{36} = 6x \] Преобразуем: \[ x^4 = 36 \times 6x = 216x \] Перенесем всё в левую сторону: \[ x^4 - 216x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ x(x^3 - 216) = 0 \] Следовательно, либо: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^3 = 216 \Rightarrow x = \sqrt[3]{216} = 6 \) Теперь найдём соответствующие значения \( y \): - Для \( x = 0 \): Из (3): \( x^2 = 6y \Rightarrow 0 = 6y \Rightarrow y=0 \) - Для \( x = 6 \): Из (3): \( 36 = 6 y \Rightarrow y = 6 \) Итак, критические точки: \[ (0, 0), \quad (6, 6) \] --- ## Шаг 3: Исследование критических точек с помощью второй производной Чтобы определить характер точек (максимум, минимум или седловая), вычислим вторые частные производные и построим ранг гессиана: \[ z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x \] \[ z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12y \] \[ z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -36 \] Рано: \[ D = z_{xx} z_{yy} - (z_{xy})^2 \] --- ### Для точки \((0,0)\): \[ z_{xx} = 12 \times 0 = 0 \] \[ z_{yy} = 12 \times 0 = 0 \] \[ D = 0 \times 0 - (-36)^2 = -1296 < 0 \] Дискриминант отрицателен — точка \((0,0)\) — седловая. --- ### Для точки \((6,6)\): \[ z_{xx} = 12 \times 6 = 72 \] \[ z_{yy} = 12 \times 6 = 72 \] \[ D = 72 \times 72 - (-36)^2 = 5184 - 1296 = 3888 > 0 \] Так как \( D > 0 \) и \( z_{xx} > 0 \), то точка \((6,6)\) — локальный минимум. --- ## Итог: - **Точка \((0, 0)\)** — седловая (экстремум не является ни минимумом, ни максимумом). - **Точка \((6,6)\)** — локальный минимум функции. --- Если нужен более подробный разбор или построение графика — обращайтесь!