Исследовать на экстремум функцию z = 2x3 + 2y3 – 36xy + 430.
Давайте подробно рассмотрим задачу: исследовать функцию \( z = 2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430 \) на экстремум.
Я выполню пошаговое решение с объяснениями.
Шаг 1: Нахождение частных производных
Чтобы найти экстремумы функции двух переменных, нужно найти её критические точки — точки, где частные производные равны нулю.
Вычислим частные производные по \(x\) и \(y\):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430) = 6x^2 - 36y \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3 + 2y^3 - 36xy + 430) = 6y^2 - 36x \]
Шаг 2: Находим критические точки
Решим систему уравнений:
\[ 6x^2 - 36y = 0 \quad (1) \] \[ 6y^2 - 36x = 0 \quad (2) \]
Упростим систему, разделив каждое уравнение на 6:
\[ x^2 - 6y = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 6y \quad (3) \]
\[ y^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 6x \quad (4) \]
Теперь подставим из (3) в (4):
Из (3): \( y = \frac{x^2}{6} \)
Подставим в (4):
\[ \left(\frac{x^2}{6}\right)^2 = 6x \]
\[ \frac{x^4}{36} = 6x \]
Преобразуем:
\[ x^4 = 36 \times 6x = 216x \]
Перенесем всё в левую сторону:
\[ x^4 - 216x = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ x(x^3 - 216) = 0 \]
Следовательно, либо:
\( x = 0 \)
\( x^3 = 216 \Rightarrow x = \sqrt[3]{216} = 6 \)
Теперь найдём соответствующие значения \( y \):
- Для \( x = 0 \):
Из (3): \( x^2 = 6y \Rightarrow 0 = 6y \Rightarrow y=0 \)
- Для \( x = 6 \):
Из (3): \( 36 = 6 y \Rightarrow y = 6 \)
Итак, критические точки:
\[ (0, 0), \quad (6, 6) \]
Шаг 3: Исследование критических точек с помощью второй производной
Чтобы определить характер точек (максимум, минимум или седловая), вычислим вторые частные производные и построим ранг гессиана:
\[ z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x \] \[ z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12y \] \[ z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -36 \]
Рано:
\[ D = z_{xx} z_{yy} - (z_{xy})^2 \]
Для точки \((0,0)\):
\[ z_{xx} = 12 \times 0 = 0 \] \[ z_{yy} = 12 \times 0 = 0 \] \[ D = 0 \times 0 - (-36)^2 = -1296 < 0 \]
Дискриминант отрицателен — точка \((0,0)\) — седловая.
Для точки \((6,6)\):
\[ z_{xx} = 12 \times 6 = 72 \] \[ z_{yy} = 12 \times 6 = 72 \] \[ D = 72 \times 72 - (-36)^2 = 5184 - 1296 = 3888 > 0 \]
Так как \( D > 0 \) и \( z_{xx} > 0 \), то точка \((6,6)\) — локальный минимум.
Итог:
- Точка \((0, 0)\) — седловая (экстремум не является ни минимумом, ни максимумом).
- Точка \((6,6)\) — локальный минимум функции.
Если нужен более подробный разбор или построение графика — обращайтесь!
