В группе из 6 школьников нужно выбрать 3 человека, которые сделают проект по астрономии. В группе 3 мальчика (Костя, Ваня, Дима) и 3 девочки (Оля, Юля и Аня). Костя не дружит с Димой, Оля не дружит с Юлей, а Дима может общаться только с одной девочкой – с Аней. Сколько существует вариантов составления команды из 3 человек для работы над проектом, если в команде обязательно должно быть 2 мальчика и 1 девочка?

Давайте разберём задачу по шагам. **Дано:** - Всего 6 школьников: мальчики — Костя, Ваня, Дима; девочки — Оля, Юля, Аня. - Требуется выбрать команду из 3 человек. - В команде должно быть **только 2 мальчика и 1 девочка**. - Есть ограничения на дружбу: - Костя **не дружит с Димой**. - Оля **не дружит с Юлей**. - Дима **может общаться только с Аней**, то есть он **не может** быть в команде вместе ни с Ваней, ни с Олей, ни с Юлей. --- ### Шаг 1: Определить возможные комбинации с учетом состава команды **Команды по условию:** - 2 мальчика + 1 девочка Общие все возможные комбинации без ограничений: - Мальчики: (Костя, Ваня, Дима) - Девочки: (Оля, Юля, Аня) Количество комбинаций без ограничений: - Выбираем 2 мальчика из 3: \(\binom{3}{2} = 3\) - Выбираем 1 девочку из 3: \(\binom{3}{1} = 3\) Всего без ограничений: \[ 3 \times 3 = 9 \] --- ### Шаг 2: Исключить недопустимые команды по ограничениям дружбы **Ограничения:** 1. Костя **не дружит с Димой** — значит, команда не может содержать и Костю, и Диму одновременно. 2. Дима **может общаться только с Аней** — значит, он не может входить в команду вместе с Ваней или Олей или Юлей. 3. Оля **не дружит с Юлей** — команда не может содержать одновременно обоих. --- ### Шаг 3: Рассмотрим каждую возможную комбинацию из 9 и проверим по ограничениям. \(\boxed{\text{Команды, с их составом и проверкой:}}\) --- #### 1. Мальчики: (Костя, Ваня); Девочка: (Оля) - Команда: Костя, Ваня, Оля - Проверка: - Костя и Дима вместе? Нет — хорошо. - Дима с Аней? Дима отсутствует, значит условие выполнено. - Оля и Юля вместе? Юля отсутствует, всё хорошо. - **Допустимо** --- #### 2. Мальчики: (Костя, Ваня); Девочка: (Юля) - Команда: Костя, Ваня, Юля - Проверка: - Костя и Дима? Нет, команду не содержит Диму, отлично. - Дима с Аней? Не входит команда, условие выполнено. - Оля и Юля? В команде Юля, Оля отсутствует — хорошо. - **Допустимо** --- #### 3. Мальчики: (Костя, Ваня); Девочка: (Аня) - Команда: Костя, Ваня, Аня - Проверка: - Костя и Дима? Нет — хорошо. - Дима с Аней? Не входит команда — понятно. - Оля и Юля? Нет — хорошо. - **Допустимо** --- #### 4. Мальчики: (Дима, Ваня); Девочка: (Оля) - Команда: Дима, Ваня, Оля - Проверка: - Дима и Костя? Не оба вместе — хорошо. - Дима с Аней? Нет — хорошо. - Оля и Юля? Нет — хорошо. - Но есть ограничение, что Дима **может общаться только с Аней**, то есть он **не может** входить в команду вместе с Ваней или Олей или Юлей. В данном случае Дима в команде вместе с Ваней и Олей — **нарушение ограничения**. - **Недопустимо** --- #### 5. Мальчики: (Дима, Ваня); Девочка: (Юля) - Команда: Дима, Ваня, Юля - Проверка: - Дима и Костя? Нет — хорошо. - Дима с Аней? Нет — условие выполнено. - Оля и Юля? Да, Юля в команде, а Оля нет — хорошо. - Проблем с дружбой? - Дима с Аней — есть, команда содержит Юлю и Ваню. - Ограничение: Дима может только с Аней, **но не с Ваней и Юлей**. Содержится нарушение, потому что в команде есть Юля и Ваня, а Дима — с Ваней и Юлей? Да, нарушение, потому что Дима может общаться только с Аней — а в команде Ваня и Юля — он не может. - **Недопустимо** --- #### 6. Мальчики: (Дима, Ваня); Девочка: (Аня) - Команда: Дима, Ваня, Аня - Проверка: - Костя и Дима? Нет, отлично. - Дима с Аней? В команде есть Аня, так что да. - В команде Ваня и Дима — нарушение, так как Дима допускается только с Аней. - **Недопустимо** --- #### 7. Мальчики: (Костя, Дима); Девочка: (Оля) - Команда: Костя, Дима, Оля - Проверка: - Костя и Дима? Они вместе — **недопустимо**. - **Недопустимо** --- #### 8. Мальчики: (Костя, Дима); Девочка: (Юля) - Аналогично — команда содержит Костю и Диму, что противоречит правилу. - **Недопустимо** --- #### 9. Мальчики: (Костя, Дима); Девочка: (Аня) - Та же ситуация — команда содержит Костю и Диму вместе — **недопустимо**. --- ### Итог: Из 9 возможных комбинаций только **три** соответствуют условиям: - (Костя, Ваня, Оля) - (Костя, Ваня, Юля) - (Костя, Ваня, Аня) --- ### **Ответ:** **Всего допустимых вариантов: 3.** --- Если нужно, могу дополнительно расписать, почему именно эти комбинации подходят или провести более подробный разбор!