Решить весь вариант

Давайте решим весь вариант по порядку с подробными объяснениями. --- ### 1. Решение неравенства: \[ \frac{3x^2 - 2x - 7}{x - 8} > 0 \] **Шаги для решения:** 1. Найдём нули числителя и знаменателя: - \(3x^2 - 2x - 7 = 0\) Решим это квадратичное уравнение: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 3 \times (-7)}}{2 \times 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 84}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} \] \[ \sqrt{88} \approx 9.38 \] Тогда: \[ x_1 = \frac{2 - 9.38}{6} \approx -1.23 \] \[ x_2 = \frac{2 + 9.38}{6} \approx 1.90 \] 2. Знаменатель равен нулю при \(x = 8\), поэтому \(x \neq 8\). 3. Анализируем знак числителя и знаменателя на интервалах, разбитых точками \(-1.23\), \(1.90\), и \(8\). 4. Таблица знаков и решение: - Интервал \((-\infty, -1.23)\): - \(3x^2 - 2x -7 > 0\), \(x - 8 < 0\), знак деления: положительное / отрицательное = отрицательное → не подходит. - Интервал \((-1.23, 1.90)\): - \(3x^2 - 2x -7 < 0\), \(x -8 < 0\) → деление двух отрицательных чисел → положительное → подходит. - Интервал \((1.90, 8)\): - \(3x^2 - 2x -7 > 0\), \(x -8 < 0\) → деление положительное / отрицательное = отрицательное → не подходит. - Интервал \((8, +\infty)\): - числитель > 0, знаменатель > 0 → деление > 0 → подходит. **Ответ:** \[ x \in (-1.23, 1.90) \cup (8, +\infty) \] --- ### 2. Решение неравенства: \[ \log_3(2x + 3) > -3 \] **Шаги:** 1. Перепишем неравенство в экспоненциальном виде: \[ 2x + 3 > 3^{-3} \] 2. Вычислим \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\). 3. Получаем: \[ 2x + 3 > \frac{1}{27} \] 4. Решим относительно \(x\): \[ 2x > \frac{1}{27} - 3 = \frac{1 - 81}{27} = -\frac{80}{27} \] \[ x > -\frac{40}{27} \] **Дополнительное условие:** Область определения логарифма: \(2x + 3 > 0\) \[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \] Итак, объединяем условия: \[ x > -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x > -\frac{40}{27} \] Поскольку \( -\frac{40}{27} \approx -1.48 \), а \( -\frac{3}{2} = -1.5 \), то: \[ x > -\frac{40}{27} \] Решение: \[ \boxed{x > -\frac{40}{27}} \] --- ### 3. Решение уравнения: \[ \sin x = \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) \] Используем свойство косинуса: \[ \cos(-\theta) = \cos \theta \] Значит: \[ \sin x = \cos \frac{\pi}{3} \] \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Известно, что: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### 4. График функции с условиями: Задача — построить график функции, зная: а) Область определения: \([-1, 8]\) б) Значения функции на интервале \([-4, 2]\) в) Функция возрастает на \([-1, 3]\) и \([5, 8]\), убывает на \([3, 5]\) г) Нули функции: 3 и 7 - График показывает периоды роста, убывания, нули в точках 3 и 7. --- ### 5. Первообразные функции: Возьмем функцию: \[ f(x) = x^4 + 6x \] Найдем её первообразную: \[ F(x) = \int (x^4 + 6x) dx = \frac{x^5}{5} + 3x^2 + C \] --- ### 6. Многогольник (вопрос с трапецией): Обозначения: - Ребра: \(AB\), \(BC\), \(SC\) Дано: \(AB \parallel BC \parallel SC\) Это трапеция, где \(AB\) и \(BC\) параллельны, и \(SC\) — середина высоты. Многоугольник: трапеция. --- ### 7. Радиус основания цилиндра: Дано: - Радиус = 6 см - Высота = в два раза больше длины основания Объем цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \] Если высота \(h = 2 \times 6 = 12\) см Объем: \[ V = \pi \times 6^2 \times 12 = \pi \times 36 \times 12 = 432 \pi \text{ см}^3 \] --- ### 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда: Дано: - Углы: основание 45°, боковая грань 60°, высота 4 см Объем: \[ V = S \times h \] Диагональ основания: \[ d = a \sqrt{2} \] Диагональ боковой грани — это гипотенуза в треугольнике со сторонами: \[ d_{b} = \sqrt{a^2 + h^2} \] Для вычисления объема нужно знать длины сторон, предполагается, что есть отношение, или указания. --- ### 9. Уравнение: \[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1= 0 \] Решим через замену: \[ t = \cos x \] Тогда: \[ 2t^2 - t - 1= 0 \] Решения: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \] \[ t_1 = 1,\quad t_2 = -\frac{1}{2} \] Итак: - \(\cos x=1 \Rightarrow x=2k\pi\) - \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) --- ### 10. Максимальное и минимальное значение функции: \[ y=2x^3 - 9x^2 - 1 \] на отрезке \([-1,4]\). Найдем критические точки: \[ y' = 6x^2 - 18x = 6x(x - 3) \] Критические точки: \[ x=0, \