Решить весь вариант
Давайте решим весь вариант по порядку с подробными объяснениями.
1. Решение неравенства:
\[ \frac{3x^2 - 2x - 7}{x - 8} > 0 \]
Шаги для решения:
Найдём нули числителя и знаменателя:
- \(3x^2 - 2x - 7 = 0\)
Решим это квадратичное уравнение:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 3 \times (-7)}}{2 \times 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 84}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} \]
\[ \sqrt{88} \approx 9.38 \]
Тогда:
\[ x_1 = \frac{2 - 9.38}{6} \approx -1.23 \]
\[ x_2 = \frac{2 + 9.38}{6} \approx 1.90 \]
Знаменатель равен нулю при \(x = 8\), поэтому \(x \neq 8\).
Анализируем знак числителя и знаменателя на интервалах, разбитых точками \(-1.23\), \(1.90\), и \(8\).
Таблица знаков и решение:
Интервал \((-\infty, -1.23)\):
- \(3x^2 - 2x -7 > 0\), \(x - 8 < 0\), знак деления: положительное / отрицательное = отрицательное → не подходит.
Интервал \((-1.23, 1.90)\):
- \(3x^2 - 2x -7 < 0\), \(x -8 < 0\) → деление двух отрицательных чисел → положительное → подходит.
Интервал \((1.90, 8)\):
- \(3x^2 - 2x -7 > 0\), \(x -8 < 0\) → деление положительное / отрицательное = отрицательное → не подходит.
Интервал \((8, +\infty)\):
- числитель > 0, знаменатель > 0 → деление > 0 → подходит.
Ответ:
\[ x \in (-1.23, 1.90) \cup (8, +\infty) \]
2. Решение неравенства:
\[ \log_3(2x + 3) > -3 \]
Шаги:
- Перепишем неравенство в экспоненциальном виде:
\[ 2x + 3 > 3^{-3} \]
Вычислим \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\).
Получаем:
\[ 2x + 3 > \frac{1}{27} \]
- Решим относительно \(x\):
\[ 2x > \frac{1}{27} - 3 = \frac{1 - 81}{27} = -\frac{80}{27} \]
\[ x > -\frac{40}{27} \]
Дополнительное условие:
Область определения логарифма: \(2x + 3 > 0\)
\[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \]
Итак, объединяем условия:
\[ x > -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x > -\frac{40}{27} \]
Поскольку \( -\frac{40}{27} \approx -1.48 \), а \( -\frac{3}{2} = -1.5 \), то:
\[ x > -\frac{40}{27} \]
Решение:
\[ \boxed{x > -\frac{40}{27}} \]
3. Решение уравнения:
\[ \sin x = \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) \]
Используем свойство косинуса:
\[ \cos(-\theta) = \cos \theta \]
Значит:
\[ \sin x = \cos \frac{\pi}{3} \]
\[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
Известно, что:
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]
Решения:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. График функции с условиями:
Задача — построить график функции, зная:
а) Область определения: \([-1, 8]\)
б) Значения функции на интервале \([-4, 2]\)
в) Функция возрастает на \([-1, 3]\) и \([5, 8]\), убывает на \([3, 5]\)
г) Нули функции: 3 и 7
- График показывает периоды роста, убывания, нули в точках 3 и 7.
5. Первообразные функции:
Возьмем функцию:
\[ f(x) = x^4 + 6x \]
Найдем её первообразную:
\[ F(x) = \int (x^4 + 6x) dx = \frac{x^5}{5} + 3x^2 + C \]
6. Многогольник (вопрос с трапецией):
Обозначения:
- Ребра: \(AB\), \(BC\), \(SC\)
Дано: \(AB \parallel BC \parallel SC\)
Это трапеция, где \(AB\) и \(BC\) параллельны, и \(SC\) — середина высоты.
Многоугольник: трапеция.
7. Радиус основания цилиндра:
Дано:
- Радиус = 6 см
- Высота = в два раза больше длины основания
Объем цилиндра:
\[ V = \pi r^2 h \]
Если высота \(h = 2 \times 6 = 12\) см
Объем:
\[ V = \pi \times 6^2 \times 12 = \pi \times 36 \times 12 = 432 \pi \text{ см}^3 \]
8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
Дано:
- Углы: основание 45°, боковая грань 60°, высота 4 см
Объем:
\[ V = S \times h \]
Диагональ основания:
\[ d = a \sqrt{2} \]
Диагональ боковой грани — это гипотенуза в треугольнике со сторонами:
\[ d_{b} = \sqrt{a^2 + h^2} \]
Для вычисления объема нужно знать длины сторон, предполагается, что есть отношение, или указания.
9. Уравнение:
\[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1= 0 \]
Решим через замену:
\[ t = \cos x \]
Тогда:
\[ 2t^2 - t - 1= 0 \]
Решения:
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \]
\[ t_1 = 1,\quad t_2 = -\frac{1}{2} \]
Итак:
- \(\cos x=1 \Rightarrow x=2k\pi\)
- \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
10. Максимальное и минимальное значение функции:
\[ y=2x^3 - 9x^2 - 1 \]
на отрезке \([-1,4]\).
Найдем критические точки:
\[ y' = 6x^2 - 18x = 6x(x - 3) \]
Критические точки:
[ x=0, \
