Рассмотрим задачу шаг за шагом.
Обозначим исходное трёхзначное число как ( N ).
Поскольку при делении на 10 число даёт в остатке 3, его последняя цифра равна 3.
Обозначим сотни, десятки и единицы числа через ( a ), ( b ), и ( c ) соответственно. Тогда:
[ N = 100a + 10b + c ]
Из условия известно, что последняя цифра — 3, значит:
[ c = 3 ]
Также, при делении на 10 даёт остачу 3:
[ N \equiv 3 \pmod{10} ]
Это подтверждает, что ( c = 3 ).
Запишем число:
[ N = 100a + 10b + 3 ]
Перенос последней цифры в начало:
Если последняя цифра — 3, то переносим её в начало числа, получаем число:
[ M = 300 + 10a + b ]
По условию, это число на 72 больше исходного:
[ M = N + 72 ]
Теперь подставим выражения:
[ 300 + 10a + b = (100a + 10b + 3) + 72 ]
Раскроем скобки и упростим:
[ 300 + 10a + b = 100a + 10b + 75 ]
Переходим все члены в одну сторону:
[ 300 + 10a + b - 100a - 10b = 75 ]
Объединяем подобные:
[ 300 + 10a - 100a + b - 10b = 75 ]
[ 300 - 90a - 9b = 75 ]
Разделим обе части на 3 для упрощения:
[ 100 - 30a - 3b = 25 ]
Переносим константу:
[ 100 - 25 = 30a + 3b ]
[ 75 = 30a + 3b ]
Вынесем 3 за скобки:
[ 75 = 3(10a + b) ]
Делим обе части на 3:
[ 25 = 10a + b ]
Теперь у нас есть уравнение:
[ 10a + b = 25 ]
Поскольку ( a ) — цифра сотен (от 1 до 9), а ( b ) — цифра десятков (от 0 до 9), найдём возможные значения:
Это возможно при ( a = 2 ) и ( b = 5 ):
[ 10 \times 2 + 5 = 25 ]
Все условия выполнены:
- ( a = 2 ) (сотни),
- ( b = 5 ) (десятки),
- ( c = 3 ) (единицы).
Исходное число:
[ N = 100 \times 2 + 10 \times 5 + 3 = 200 + 50 + 3 = 253 ]
Проверка:
Перенос последней цифры в начало:
[ M = 300 + 10a + b = 300 + 10 \times 2 + 5 = 300 + 20 + 5 = 325 ]
Разница:
[ 325 - 253 = 72 ] — совпадает с условием.
Ответ:
Исходное число — 253.
