Решите уравнение 3cos2x+2sinx-3=0

Давайте решим уравнение: \[ 3\cos 2x + 2\sin x - 3 = 0 \] **Шаг 1: выразим \(\cos 2x\)** Известна формула двойного угла: \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] или \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \] Так как у нас есть \( \sin x \), удобнее использовать первую формулу: \[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \] **Шаг 2: подставим в уравнение** Получим: \[ 3(1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 3 - 6\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0 \] Объединим подобные члены: \[ (3 - 3) + 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \] \[ 0 + 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \] Перепишем: \[ 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \] **Шаг 3: вынесем общий множитель** \[ 2\sin x (1 - 3\sin x) = 0 \] Это произведение равно нулю, следовательно, каждый множитель равен нулю: 1. \( 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \) 2. \( 1 - 3\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3} \) **Шаг 4: решим каждое уравнение отдельно** **Первое решение:** \(\sin x = 0\) Значения \(\sin x = 0\) при: \[ x = k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \] **Второе решение:** \(\sin x = \frac{1}{3}\) При \(\sin x = \frac{1}{3}\) \[ x = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Обозначим: \[ \alpha = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \] **Ответ:** \[ x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \alpha + 2\pi k, \quad x = \pi - \alpha + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- Если нужно, я могу помочь с конкретными примерами или пояснить детали.