Решите уравнение 3cos2x+2sinx-3=0

Давайте решим уравнение:
\[ 3\cos 2x + 2\sin x - 3 = 0 \]

Шаг 1: выразим \(\cos 2x\)
Известна формула двойного угла:
\[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \]
или
\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \]

Так как у нас есть \( \sin x \), удобнее использовать первую формулу:
\[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \]

Шаг 2: подставим в уравнение
Получим: \[ 3(1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 3 - 6\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ (3 - 3) + 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \] \[ 0 + 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \]

Перепишем: \[ 2\sin x - 6\sin^2 x = 0 \]

Шаг 3: вынесем общий множитель \[ 2\sin x (1 - 3\sin x) = 0 \]

Это произведение равно нулю, следовательно, каждый множитель равен нулю:

1. \( 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \)
2. \( 1 - 3\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{3} \)

Шаг 4: решим каждое уравнение отдельно

Первое решение: \(\sin x = 0\)
Значения \(\sin x = 0\) при:
\[ x = k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \]

Второе решение: \(\sin x = \frac{1}{3}\)
При \(\sin x = \frac{1}{3}\)
\[ x = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Обозначим:
\[ \alpha = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \]

Ответ:
\[ x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \alpha + 2\pi k, \quad x = \pi - \alpha + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если нужно, я могу помочь с конкретными примерами или пояснить детали.