Решите уравнение 6sin^2x+ sinx* cosx-cos^2x
Давайте решим уравнение:
\[6\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x - \cos^2 x = 0\]
Так как уравнение содержит тригонометрические функции, сначала попробуем выразить его через одну функцию или использовать тригонометрические формулы.
Шаг 1: Представление уравнения
Обозначим:
\[ y = \sin x \]
Тогда:
\[ \cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - y^2} \]
Но лучше сначала оставить уравнение в текущем виде, чтобы рассмотреть подход с использованием тригонометрических формул.
Шаг 2: Использование формулы двойного угла
Учитывая уравнение:
\[6 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x - \cos^2 x = 0\]
Обратим внимание на два выражения:
- \(\sin x \cdot \cos x\) — это обычно выражается через формулу для \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
- \(\cos^2 x\) — это связано с \(\cos 2x\), ведь \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
Но для начала попробуем выразить уравнение через \(\sin x\) и \(\cos x\) без замен.
Шаг 3: Замена переменных
Рассмотрим возможную замену:
Пусть \( t = \tan x \).
Тогда:
\[
\sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}
\]
Подставим в уравнение:
\[ 6 \left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 + \left(\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2 = 0 \]
Упростим:
\[ 6 \frac{t^2}{1 + t^2} + \frac{t}{1 + t^2} - \frac{1}{1 + t^2} = 0 \]
Общий знаменатель — \(1 + t^2\):
\[ \frac{6 t^2 + t - 1}{1 + t^2} = 0 \]
Это равносильно тому, что числитель равен нулю:
\[ 6 t^2 + t - 1 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения для \(t\)
Решим:
\[ 6 t^2 + t - 1 = 0 \]
Используем формулу:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=6\), \(b=1\), \(c=-1\).
Подставляем:
\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} \]
\[ t = \frac{-1 \pm 5}{12} \]
Рассмотрим два варианта:
\( t = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
\( t = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 5: Решение для \(x\)
Теперь найдем \(x\), исходя из:
\[ t = \tan x \]
и:
\[ \tan x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \tan x = -\frac{1}{2} \]
Общее решение:
\[ x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi \] \[ x = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi \]
где \(k\) — любое целое число.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
и
\[ \boxed{ x = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
Если нужны численные приближения или проверка, я могу помочь!
