Решите уравнение 6sin^2x+ sinx* cosx-cos^2x

Давайте решим уравнение: \[6\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x - \cos^2 x = 0\] Так как уравнение содержит тригонометрические функции, сначала попробуем выразить его через одну функцию или использовать тригонометрические формулы. --- ### Шаг 1: Представление уравнения Обозначим: \[ y = \sin x \] Тогда: \[ \cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - y^2} \] Но лучше сначала оставить уравнение в текущем виде, чтобы рассмотреть подход с использованием тригонометрических формул. --- ### Шаг 2: Использование формулы двойного угла Учитывая уравнение: \[6 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x - \cos^2 x = 0\] Обратим внимание на два выражения: - \(\sin x \cdot \cos x\) — это обычно выражается через формулу для \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) - \(\cos^2 x\) — это связано с \(\cos 2x\), ведь \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) Но для начала попробуем выразить уравнение через \(\sin x\) и \(\cos x\) без замен. --- ### Шаг 3: Замена переменных Рассмотрим возможную замену: Пусть \( t = \tan x \). Тогда: \[ \sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] Подставим в уравнение: \[ 6 \left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 + \left(\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2 = 0 \] Упростим: \[ 6 \frac{t^2}{1 + t^2} + \frac{t}{1 + t^2} - \frac{1}{1 + t^2} = 0 \] Общий знаменатель — \(1 + t^2\): \[ \frac{6 t^2 + t - 1}{1 + t^2} = 0 \] Это равносильно тому, что числитель равен нулю: \[ 6 t^2 + t - 1 = 0 \] --- ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения для \(t\) Решим: \[ 6 t^2 + t - 1 = 0 \] Используем формулу: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=6\), \(b=1\), \(c=-1\). Подставляем: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} \] \[ t = \frac{-1 \pm 5}{12} \] Рассмотрим два варианта: 1. \( t = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) 2. \( t = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \) --- ### Шаг 5: Решение для \(x\) Теперь найдем \(x\), исходя из: \[ t = \tan x \] и: \[ \tan x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \tan x = -\frac{1}{2} \] **Общее решение:** \[ x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi \] \[ x = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi \] где \(k\) — любое целое число. --- ### Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \arctan \left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] и \[ \boxed{ x = \arctan \left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] --- Если нужны численные приближения или проверка, я могу помочь!