Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 и 8 см, а диагональ меньшей боковой грани равна 13 см. Найдите объем параллелепипеда.

Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.

Дано:

• Две стороны основания: \(a = 5\, \text{см}\), \(b = 8\, \text{см}\).
• Диагональ меньшей боковой грани: \(d = 13\, \text{см}\).

Нам нужно найти объём параллелепипеда \(V\).

Шаг 1. Что такое боковая грань?
Боковые грани — это рёбра, соединяющие две противоположные грани основания. В прямоугольном параллелепипеде боковые грани — это прямоугольники со сторонами длиной стороны основания и высотой.

Меньшая боковая грань — та, у которой меньшая сторона основания, то есть боковая грань, образованная стороной 5 см или 8 см, и высотой \(h\).

Поскольку диагональ этой боковой грани равна 13 см, её можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника, где:

• одна сторона — длина основания (лучшая догадка, что это сторона 5 или 8 см),
• другая — высота \(h\),
• гипотенуза — диагональ боковой грани, равная 13 см.

Нам нужно понять, какая сторона основания образует меньшую боковую грань.
Меньшая боковая грань — та, которая соединяет сторону 5 см и высоту \(h\), потому что ее диагональ 13 см.

Шаг 2. Находим высоту \(h\).
Для боковой грани со стороной 5 см и высотой \(h\): \[ \text{Диагональ} = \sqrt{(5)^2 + h^2} = 13\, \text{см}. \]

Решим это уравнение: \[ 5^2 + h^2 = 13^2, \] \[ 25 + h^2 = 169, \] \[ h^2 = 169 - 25 = 144, \] \[ h = \sqrt{144} = 12\, \text{см}. \]

Итак, высота параллелепипеда \(h = 12\, \textсм\).

Шаг 3. Проверка
Это подтверждает, что диагональ боковой грани со стороной 5 см равна 13 см при высоте 12 см.
(Аналогично, сторона 8 см образует боковую грань, у которой диагональ — \(\sqrt{8^2 + h^2}\). Но в условии указано, что диагональ меньшей боковой грани равна 13 см, значит, эта грань со стороной 5 см.)

Шаг 4. Находим объем параллелепипеда.
Объём равен произведению площади основания на высоту: \[ V = a \times b \times h. \] Подставим числа: \[ V = 5 \times 8 \times 12 = 480\, \text{см}^3. \]

Итог:

Ответ — объем параллелепипеда равен \(\boxed{480\, \text{см}^3}\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее какой-то шаг — обращайтесь!