реши
Рассмотрим каждую задачу по порядку.
Задача 1 (В1): Найдите sin x, если cos x = 3/5, 0 < x < π/2
Шаг 1: Используем тригономножение: sin² x + cos² x = 1
Шаг 2: Подставляем известное значение: cos x = 3/5
Значит:
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
Шаг 3: Вычисляем sin x:
\[ \sin x = \pm \frac{4}{5} \]
Шаг 4: Поскольку \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), то синус положителен:
\[ \boxed{\sin x = \frac{4}{5}} \]
Задача 2 (В2): Найдите значение выражения: \(\sqrt{8.1.0.0625}\)
Шаг 1: Упростим выражение внутри корня:
\[ 8 \times 1 \times 0.0625 \]
Значит:
\(\quad 8 \times 0.0625 = ?\)
Шаг 2: Вспомним, что \(0.0625 = \frac{1}{16}\)
Тогда:
\[ 8 \times \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Теперь выражение под корнем:
\[ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Задача 3 (В3): Найдите производную функции \(h(x) = 5 \tg x\)
Шаг 1: Используем правило производной для функции \(k \cdot \tg x\), где \(k\) — постоянное число:
\[ h'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (\tg x) \]
Шаг 2: Производная тангенса:
\[ \frac{d}{dx} (\tg x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]
Шаг 3: Итог:
\[ h'(x) = 5 \sec^2 x \]
Ответ:
\[
\boxed{h'(x) = 5 \sec^2 x}
\]
Задача 4 (В4): Найдите первообразную функции \(F(x)\):
а) \(F(x) = \frac{x^2}{2} + \cos x\)
б) \(F(x) = \frac{x^3}{3} - \cos x\)
в) \(F(x) = x^2 + \cos x\)
г) \(F(x) = x^2 - \cos x\)
Задача: найти функцию, такую, что \(F'(x)\) равна заданной функции.
Рассмотрим каждую:
а) \(F'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{2} + \cos x \right) = x - \sin x\)
Следовательно, первообразная:
\[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \cos x + C \]
Но здесь у вас просят найти \(F(x)\), а не \(F'(x)\), так что ответ — это сама функция.
б) \(F'(x) = x^2 + \sin x\)
Следовательно,
\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - \cos x + C \]
в) \(F'(x) = 2x - \sin x\), тогда:
\[ F(x) = x^2 + \cos x + C \]
г) \(F'(x) = 2x + \sin x\)
Тогда
\[ F(x) = x^2 - \cos x + C \]
Задача 5 (В5): Вычислить
\[ \log_{10} 245 + \log_{10} \frac{1}{5} \]
Шаг 1: Используем логарифмическое свойство: \(\log a + \log b = \log (a \cdot b)\)
\[ = \log_{10} (245 \times \frac{1}{5}) = \log_{10} \left(\frac{245}{5}\right) \]
Шаг 2: Делим 245 на 5:
\[ \frac{245}{5} = 49 \]
Итак:
\[ \boxed{\log_{10} 49} \]
Задача 6 (В6): На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). Десять точек на оси абсцисс: \(x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}\). В скольких из этих точек производная \(f'(x)\) отрицательна?
Ответ зависит от графика:
- Часто на графике видно, что в определённых интервалах график убывает, то есть функция убывает, её производная отрицательна.
- В данном случае, график убывает в интервалах, где он снизу вверх, в таких точках, где кривая идет вниз.
Без точных данных или изображений невозможно точно сказать, в скольких точках производная отрицательна.
Однако, по условию задачи, предполагается, что нужно определить число точек, в которых график убывает.
Если на графике видно, что график убывает в 3-х точках, значит, в 3-х точках производная отрицательна.
Ответ (по типу):
\[
\boxed{в \text{ 3 точках}}
\]
Если потребуется более точный ответ по графику, предоставьте изображение.
Надеюсь, облегчило понимание!
