Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=x²-2х-2 и у=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ укажите в квадратных метрах.
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Задача
Вычислить площадь и выполнить чертеж области, ограниченной линиями:
- \( y = x^2 - 2x - 2 \)
- \( y = -x^2 + 2 \)
Ответ — в квадратных метрах.
Шаг 1. Построение графиков линий и поиск точек пересечения
1.1. Исследуем каждую линию
Линия 1: \( y = x^2 - 2x - 2 \)
Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1 \] Подставим \( x=1 \): \[ y = (1)^2 - 2 \times 1 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \] Вершина: \( (1, -3) \)
Линия 2: \( y= -x^2 + 2 \)
Эторафика так же является параболой, открытой вниз, с вершиной в точке \( (0, 2) \).
1.2. Находим точки пересечения линий
Приравним функции: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]
Перенесём всё в левую сторону: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]
Делим на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
- \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
Теперь найдём соответствующие \( y \):
Для \( x=2 \): \[ y = - (2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \]
Для \( x = -1 \): \[ y= -(-1)^2 + 2 = -1 + 2=1 \]
Точки пересечения:
- \( (2, -2) \)
- \( (-1, 1) \)
Шаг 2. Построение области и чертёж
Область — это фигура, ограниченная линиями в интервале \( x \in [-1, 2] \), где верхняя граница — это график \( y= -x^2 + 2 \), а нижняя — \( y= x^2 - 2x - 2 \).
Шаг 3. Вычисление площади
3.1. Формула для площади между кривыми
\[ \text{Площадь} = \int_{x_1}^{x_2} \left[ y_{верх} - y_{низ} \right] dx \]
где \( y_{верх} = -x^2 + 2 \), а \( y_{низ} = x^2 - 2x - 2 \)
границы интегрирования: \[ x_1 = -1,\quad x_2 = 2 \]
3.2. Вычисляем разность функций
\[ \Delta y = (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) = -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 \] \[ = -2x^2 + 2x + 4 \]
3.3. Интегрируем
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]
Производим интегрирование по частям:
\[ \int -2x^2 dx = -2 \times \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3} x^3 \] \[ \int 2x dx = x^2 \] \[ \int 4 dx = 4x \]
Итак,
\[ \text{Площадь} = \left[ -\frac{2}{3} x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]
Шаг 4. Подставляем границы и считаем
Для \( x=2 \): \[ -\frac{2}{3} \times 2^3 + 2^2 + 4 \times 2 = -\frac{2}{3} \times 8 + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 \] \[ = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-16 + 12 + 24}{3} = \frac{20}{3} \]
Для \( x=-1 \): \[ -\frac{2}{3} \times (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \times (-1) = -\frac{2}{3} \times (-1) + 1 - 4 \] \[ = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2 + 3 - 12}{3} = \frac{-7}{3} \]
Общая площадь:
\[ \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]
Ответ:
Площадь земли, ограниченной линиями, равна \(\boxed{9}\) квадратных метров.
Итог
- Область — фигура между двумя параболами, пересекающимися в точках \((-1, 1)\) и \((2, -2)\).
- Площадь — 9 м².
- Для чертежа рекомендуется изобразить параболы и отметить точки пересечения.
Если нужно помочь с построением чертежа — сообщите!
