В схеме испытаний Бернулли из 5 испытаний вероятность исхода (1,0,1,0,1) оказалась равна 72/3125 . Чему была равна вероятность неудачи в данной схеме испытаний, если известно, что…

Давайте разберём задачу по шагам.

Дано:

• Общее число испытаний: 5
• Исходы: (1, 0, 1, 0, 1)
• Вероятность этого исхода: \( \frac{72}{3125} \)

В схеме Бернулли каждое испытание имеет два результата: успех (обозначим вероятность \( p \)) и неудача (вероятность \( q = 1 - p \)).
В данном случае, поскольку исходы заданы, мы можем связать вероятность данного исхода с вероятностями успехов и неудач.

---

Шаг 1: Обозначим вероятность успеха и неудачи

• Вероятность успеха в одном испытании: \( p \)
• Вероятность неудачи в одном испытании: \( q = 1 - p \)

В исходе из 5 испытаний: исход (1, 0, 1, 0, 1)

• Успехи (1): 3 раза
• Неудачи (0): 2 раза

Шаг 2: Формула вероятности данного исхода

Вероятность конкретного исхода с успехами и неудачами (при независимых испытаниях):

\[ P = p^{\text{число успехов}} \times q^{\text{число неудач}} = p^3 \times q^2 \]

По условию, это равно:

\[ p^3 \times q^2 = \frac{72}{3125} \]

---

Шаг 3: Замена \( q = 1 - p \)

Подставим \( q = 1 - p \):

\[ p^3 \times (1 - p)^2 = \frac{72}{3125} \]

Обозначим:

\[ x = p \]

Тогда у нас:

\[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \]

---

Шаг 4: Решение уравнения

Рассмотрим это уравнение:

\[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \]

Заметим, что числитель \(72\) и знаменатель \(3125\) можно разложить на простые множители:

• \(72 = 2^3 \times 3^2\)
• \(3125 = 5^5\)

Таким образом, дробь:

\[ \frac{72}{3125} \]

обладает рациональным значением, и мы ищем рациональное \( p \).

---

Шаг 5: Попытка найти рациональное решение

Так как \((p, 1 - p)\) — это вероятности, они должны лежать в интервале \([0, 1]\).

Издело выглядит как степень, равная целому числу, оценим признаки:

• Число в пределах от 0 до 1.
• Величина \(\frac{72}{3125} \approx 0.02304\).

Подумаем, попробуем представить \(p\) как рациональное число (в виде дроби):

Обозначим:

\[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \]

---

Шаг 6: Проще предположить возможное рациональное \( p \)

Рассмотрим целую часть:

\[ x^3 (1 - x)^2 \]

может быть равно \(\frac{72}{3125}\).

Рассмотрим варианты, где \( x = \frac{a}{b} \), с целыми \( a, b \).

Если попробовать кратно упростить, заметим:

\[ \frac{72}{3125} = \frac{2^3 \times 3^2}{5^5} \]

В таком случае, чтобы упростить, попробуем найти рациональное \( p = \frac{a}{b} \), чтобы:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^3 \times \left(1 - \frac{a}{b}\right)^2 = \frac{72}{3125} \]

или

\[ \frac{a^3}{b^3} \times \frac{(b - a)^2}{b^2} = \frac{72}{3125} \]

Объединим:

\[ \frac{a^3 (b - a)^2}{b^5} = \frac{72}{3125} \]

Отсюда:

\[ a^3 (b - a)^2 = 72 \quad \text{и} \quad b^5 = 3125 \]

Значит:

\[ b^5 = 5^5 \Rightarrow b=5 \]

Теперь у нас:

\[ a^3 (5 - a)^2 = 72 \]

и

\[ a \in \mathbb{Z}, \quad 1 \leq a \leq 4 \]

Проверим возможные значения:

• Для \(a=1\):

\[ 1^3 \times (5-1)^2 = 1 \times 4^2 = 16 \neq 72 \]

• Для \(a=2\):

\[ 8 \times (5-2)^2 = 8 \times 3^2 = 8 \times 9=72 \]

Отлично! Это подходит.

Значит:

\[ a=2, \quad b=5 \]

Итак,

\[ p = \frac{a}{b} = \frac{2}{5} \]

и

\[ q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \]

---

Ответ:

Вероятность неудачи \(q = \frac{3}{5}\).