В схеме испытаний Бернулли из 5 испытаний вероятность исхода (1,0,1,0,1) оказалась равна 72/3125 . Чему была равна вероятность неудачи в данной схеме испытаний, если известно, что это рациональное число?

Давайте разберём задачу по шагам. **Дано:** - Общее число испытаний: 5 - Исходы: (1, 0, 1, 0, 1) - Вероятность этого исхода: \( \frac{72}{3125} \) В схеме Бернулли каждое испытание имеет два результата: успех (обозначим вероятность \( p \)) и неудача (вероятность \( q = 1 - p \)). В данном случае, поскольку исходы заданы, мы можем связать вероятность данного исхода с вероятностями успехов и неудач. --- ### Шаг 1: Обозначим вероятность успеха и неудачи - Вероятность успеха в одном испытании: \( p \) - Вероятность неудачи в одном испытании: \( q = 1 - p \) В исходе из 5 испытаний: исход (1, 0, 1, 0, 1) - Успехи (1): 3 раза - Неудачи (0): 2 раза ### Шаг 2: Формула вероятности данного исхода Вероятность конкретного исхода с успехами и неудачами (при независимых испытаниях): \[ P = p^{\text{число успехов}} \times q^{\text{число неудач}} = p^3 \times q^2 \] По условию, это равно: \[ p^3 \times q^2 = \frac{72}{3125} \] --- ### Шаг 3: Замена \( q = 1 - p \) Подставим \( q = 1 - p \): \[ p^3 \times (1 - p)^2 = \frac{72}{3125} \] Обозначим: \[ x = p \] Тогда у нас: \[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \] --- ### Шаг 4: Решение уравнения Рассмотрим это уравнение: \[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \] Заметим, что числитель \(72\) и знаменатель \(3125\) можно разложить на простые множители: - \(72 = 2^3 \times 3^2\) - \(3125 = 5^5\) Таким образом, дробь: \[ \frac{72}{3125} \] обладает рациональным значением, и мы ищем рациональное \( p \). --- ### Шаг 5: Попытка найти рациональное решение Так как \((p, 1 - p)\) — это вероятности, они должны лежать в интервале \([0, 1]\). Издело выглядит как степень, равная целому числу, оценим признаки: - Число в пределах от 0 до 1. - Величина \(\frac{72}{3125} \approx 0.02304\). Подумаем, попробуем представить \(p\) как рациональное число (в виде дроби): Обозначим: \[ x^3 (1 - x)^2 = \frac{72}{3125} \] --- ### Шаг 6: Проще предположить возможное рациональное \( p \) Рассмотрим целую часть: \[ x^3 (1 - x)^2 \] может быть равно \(\frac{72}{3125}\). Рассмотрим варианты, где \( x = \frac{a}{b} \), с целыми \( a, b \). Если попробовать кратно упростить, заметим: \[ \frac{72}{3125} = \frac{2^3 \times 3^2}{5^5} \] В таком случае, чтобы упростить, попробуем найти рациональное \( p = \frac{a}{b} \), чтобы: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^3 \times \left(1 - \frac{a}{b}\right)^2 = \frac{72}{3125} \] или \[ \frac{a^3}{b^3} \times \frac{(b - a)^2}{b^2} = \frac{72}{3125} \] Объединим: \[ \frac{a^3 (b - a)^2}{b^5} = \frac{72}{3125} \] Отсюда: \[ a^3 (b - a)^2 = 72 \quad \text{и} \quad b^5 = 3125 \] Значит: \[ b^5 = 5^5 \Rightarrow b=5 \] Теперь у нас: \[ a^3 (5 - a)^2 = 72 \] и \[ a \in \mathbb{Z}, \quad 1 \leq a \leq 4 \] Проверим возможные значения: - Для \(a=1\): \[ 1^3 \times (5-1)^2 = 1 \times 4^2 = 16 \neq 72 \] - Для \(a=2\): \[ 8 \times (5-2)^2 = 8 \times 3^2 = 8 \times 9=72 \] Отлично! Это подходит. Значит: \[ a=2, \quad b=5 \] Итак, \[ p = \frac{a}{b} = \frac{2}{5} \] и \[ q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \] --- ### **Ответ:** **Вероятность неудачи \(q = \frac{3}{5}\).**