(x+2)(x-10)>0

Давайте разберём неравенство \((x+2)(x-10) > 0\) пошагово и подробно, чтобы понять, как найти все его решения.

1. Что означает неравенство \((x+2)(x-10) > 0\)?

Это означает, что произведение двух выражений \((x+2)\) и \((x-10)\) должно быть положительным. Произведение двух чисел положительно, если оба числа либо положительны, либо оба отрицательны.

2. Найдем нули выражения

Чтобы понять, где произведение меняет знак, определим нули каждого множителя:

• \((x+2) = 0 \Rightarrow x = -2\)
• \((x-10) = 0 \Rightarrow x = 10\)

Эти точки делят числовую ось на три промежутка:

• \(x < -2\)
• \(-2 < x < 10\)
• \(x > 10\)

3. Исследуем знак произведения на каждом промежутке

Чтобы определить знак, выберем произвольное число из каждого промежутка и подставим его в выражение.

Промежуток 1: \(x < -2\), например, \(x = -3\)

• \((x+2) = -3 + 2 = -1\) (отрицательное)
• \((x-10) = -3 - 10 = -13\) (отрицательное)

Произведение: \(-1 \times -13 = 13 > 0\)

Значит, на этом промежутке произведение положительно.

Промежуток 2: \(-2 < x < 10\), например, \(x = 0\)

• \((x+2) = 0 + 2 = 2\) (положительно)
• \((x-10) = 0 - 10 = -10\) (отрицательно)

Произведение: \(2 \times -10 = -20 < 0\)

Произведение отрицательное — не соответствует условию.

Промежуток 3: \(x > 10\), например, \(x=11\)

• \((x+2) = 11 + 2 = 13\) (положительно)
• \((x-10) = 11 - 10 = 1\) (положительно)

Произведение: \(13 \times 1 = 13 > 0\)

Значит, на этом промежутке произведение тоже положительно.

4. Итог: в каких промежутках произведение больше нуля?

Произведение положительно в промежутках:

\[ (-\infty, -2) \quad \text{и} \quad (10, +\infty) \]

5. Проверка точек \(x = -2\) и \(x=10\)

• В точках нуля произведение равно 0. Но условие \((x+2)(x-10) > 0\) — строго больше 0, значит, эти точки исключаются из решения.

6. Итоговое решение

\[ \boxed{ x \in (-\infty, -2) \cup (10, +\infty) } \]

Если есть дополнительные вопросы или требуется объяснение другого типа, скажите!