Рассмотрим задачу подробно и по шагам.
Обозначения:
- Общее число арбузов: ( n = 35 )
- Масса разбитого арбуза: ( m_1 )
- Масса нового арбуза: ( m_2 )
- Средняя масса всех арбузов (до и после): ( M )
Шаг 1: Найдём выражение для средней массы всех арбузов
Общая масса всех арбузов до урона: ( S = 35 \times M )
Общая масса после удаления разбитого арбуза: ( S - m_1 )
После того, как уронили один арбуз, остались 34. Средняя масса оставшихся — ( M' ).
По условию, масса уроненного арбуза на 5 кг меньше средней:
[
m_1 = M - 5
]
Общая масса оставшихся:
[
S - m_1 = 35M - (M - 5) = 35M - M + 5 = 34M + 5
]
Но также, поскольку после урона средняя масса оставшихся арбузов:
[
M' = \frac{S - m_1}{34} = \frac{34M + 5}{34} = M + \frac{5}{34}
]
Шаг 2: После выбрасывания разбитого и добавления нового арбуза
Нам нужно учесть, что новый арбуз имеет массу ( m_2 ), и средняя масса после его добавления:
Общая масса после добавления нового арбуза:
[
(34M + 5) - m_1 + m_2 = 34M + 5 - (M - 5) + m_2
]
Так как:
[
m_1 = M - 5
]
то:
[
Общая масса (после замены):\quad 34M + 5 - (M - 5) + m_2 = 34M + 5 - M + 5 + m_2 = (34M - M) + (5 + 5) + m_2 = 33M + 10 + m_2
]
Общая масса после замены 34 арбузов:
[
S_{new} = 33M + 10 + m_2
]
Общее число арбузов осталось 35, средняя масса после замены — это ( M_{new} ):
[
M_{new} = \frac{S_{new}}{35} = \frac{33M + 10 + m_2}{35}
]
По условию, масса нового арбуза на 12 кг больше новой средней массы:
[
m_2 = M_{new} + 12
]
Подставим:
[
m_2 = \frac{33M + 10 + m_2}{35} + 12
]
Шаг 3: Решение уравнения
Перенесём:
[
m_2 - \frac{m_2}{35} = \frac{33M + 10}{35} + 12
]
Обозначим:
[
m_2 \left(1 - \frac{1}{35}\right) = \frac{33M + 10}{35} + 12
]
Преобразуем левую часть:
[
m_2 \times \frac{34}{35} = \frac{33M + 10}{35} + 12
]
Объединим правую сторону, приведя к общему знаменателю:
[
= \frac{33M + 10 + 12 \times 35}{35} = \frac{33M + 10 + 420}{35} = \frac{33M + 430}{35}
]
Теперь уравнение:
[
\frac{34}{35} m_2 = \frac{33M + 430}{35}
]
Умножим обе части на 35:
[
34 m_2 = 33M + 430
]
Отсюда:
[
m_2 = \frac{33M + 430}{34}
]
Шаг 4: Выразим ( m_1 ) и найдём разницу
Помним, что:
[
m_1 = M - 5
]
Нам нужно найти разницу:
[
\Delta = m_2 - m_1
]
Подставим значения:
[
\Delta = \frac{33M + 430}{34} - (M - 5)
]
Объединим в один дробь:
[
\Delta = \frac{33M + 430}{34} - \frac{34M - 170}{34} = \frac{33M + 430 - (34M - 170)}{34}
]
Раскроем скобки в числителе:
[
= \frac{33M + 430 - 34M + 170}{34} = \frac{-M + 600}{34}
]
Следовательно,
[
\boxed{
\Delta = \frac{600 - M}{34}
}
]
Шаг 5: Итоговое выражение
Разбитый арбуз был легче нового на:
[
\boxed{
\frac{600 - M}{34} \text{ кг}
}
]
Дополнение: без конкретного значения ( M ) точную разницу определить нельзя, так как в задаче условие о конкретной средней массе не уточнено. Однако мы получили общее выражение.
Ответ: разница в массе равна (\frac{600 - M}{34}) кг, где ( M ) — средняя масса всех арбузов до урона. Если конкретное значение ( M ) дано, можно подставить и вычислить точнинную разницу.
