У продавца на прилавке лежало 35 арбузов. Один из них он уронил, причём масса этого арбуза была на 5 кг меньше средней массы всех арбузов. Ему пришлось выбросить разбитый и…
У продавца на прилавке лежало 35 арбузов. Один из них он уронил, причём масса этого арбуза была на 5 кг меньше средней массы всех арбузов. Ему пришлось выбросить разбитый и принести новый арбуз со склада. Оказалось, что масса нового арбуза на 12 кг больше новой средней массы. На сколько килограммов разбитый арбуз был легче, чем новый?
Рассмотрим задачу подробно и по шагам.
Обозначения:
- Общее число арбузов: \( n = 35 \)
- Масса разбитого арбуза: \( m_1 \)
- Масса нового арбуза: \( m_2 \)
- Средняя масса всех арбузов (до и после): \( M \)
Шаг 1: Найдём выражение для средней массы всех арбузов
Общая масса всех арбузов до урона: \( S = 35 \times M \)
Общая масса после удаления разбитого арбуза: \( S - m_1 \)
После того, как уронили один арбуз, остались 34. Средняя масса оставшихся — \( M' \).
По условию, масса уроненного арбуза на 5 кг меньше средней:
\[ m_1 = M - 5 \]
Общая масса оставшихся:
\[ S - m_1 = 35M - (M - 5) = 35M - M + 5 = 34M + 5 \]
Но также, поскольку после урона средняя масса оставшихся арбузов:
\[ M' = \frac{S - m_1}{34} = \frac{34M + 5}{34} = M + \frac{5}{34} \]
Шаг 2: После выбрасывания разбитого и добавления нового арбуза
Нам нужно учесть, что новый арбуз имеет массу \( m_2 \), и средняя масса после его добавления:
Общая масса после добавления нового арбуза:
\[ (34M + 5) - m_1 + m_2 = 34M + 5 - (M - 5) + m_2 \]
Так как:
\[ m_1 = M - 5 \]
то:
\[ Общая масса (после замены):\quad 34M + 5 - (M - 5) + m_2 = 34M + 5 - M + 5 + m_2 = (34M - M) + (5 + 5) + m_2 = 33M + 10 + m_2 \]
Общая масса после замены 34 арбузов:
\[ S_{new} = 33M + 10 + m_2 \]
Общее число арбузов осталось 35, средняя масса после замены — это \( M_{new} \):
\[ M_{new} = \frac{S_{new}}{35} = \frac{33M + 10 + m_2}{35} \]
По условию, масса нового арбуза на 12 кг больше новой средней массы:
\[ m_2 = M_{new} + 12 \]
Подставим:
\[ m_2 = \frac{33M + 10 + m_2}{35} + 12 \]
Шаг 3: Решение уравнения
Перенесём:
\[ m_2 - \frac{m_2}{35} = \frac{33M + 10}{35} + 12 \]
Обозначим:
\[ m_2 \left(1 - \frac{1}{35}\right) = \frac{33M + 10}{35} + 12 \]
Преобразуем левую часть:
\[ m_2 \times \frac{34}{35} = \frac{33M + 10}{35} + 12 \]
Объединим правую сторону, приведя к общему знаменателю:
\[ = \frac{33M + 10 + 12 \times 35}{35} = \frac{33M + 10 + 420}{35} = \frac{33M + 430}{35} \]
Теперь уравнение:
\[ \frac{34}{35} m_2 = \frac{33M + 430}{35} \]
Умножим обе части на 35:
\[ 34 m_2 = 33M + 430 \]
Отсюда:
\[ m_2 = \frac{33M + 430}{34} \]
Шаг 4: Выразим \( m_1 \) и найдём разницу
Помним, что:
\[ m_1 = M - 5 \]
Нам нужно найти разницу:
\[ \Delta = m_2 - m_1 \]
Подставим значения:
\[ \Delta = \frac{33M + 430}{34} - (M - 5) \]
Объединим в один дробь:
\[ \Delta = \frac{33M + 430}{34} - \frac{34M - 170}{34} = \frac{33M + 430 - (34M - 170)}{34} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ = \frac{33M + 430 - 34M + 170}{34} = \frac{-M + 600}{34} \]
Следовательно,
\[ \boxed{ \Delta = \frac{600 - M}{34} } \]
Шаг 5: Итоговое выражение
Разбитый арбуз был легче нового на:
\[ \boxed{ \frac{600 - M}{34} \text{ кг} } \]
Дополнение: без конкретного значения \( M \) точную разницу определить нельзя, так как в задаче условие о конкретной средней массе не уточнено. Однако мы получили общее выражение.
Ответ: разница в массе равна \(\frac{600 - M}{34}\) кг, где \( M \) — средняя масса всех арбузов до урона. Если конкретное значение \( M \) дано, можно подставить и вычислить точнинную разницу.
