Рассмотрим задачу:
[ 3^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-2} = 75 ]
Шаг 1. Упростим выражение, выделив общие множители
Обратим внимание на степени с одинаковым основанием. Можно выразить обе части через ( 3^{x-2} ):
[
3^{x-1} = 3^{(x-2)+1} = 3^{x-2} \cdot 3^1 = 3^{x-2} \cdot 3
]
Подставим это в уравнение:
[
3^{x-2} \cdot 3 - 2 \cdot 3^{x-2} = 75
]
Шаг 2. Вынесем ( 3^{x-2} ) за скобки
[
3^{x-2} (3 - 2) = 75
]
[
3^{x-2} \cdot 1 = 75
]
В итоге:
[
3^{x-2} = 75
]
Шаг 3. Решим уравнение относительно ( x )
Чтобы найти ( x ), возьмем логарифм по основанию 3:
[
3^{x-2} = 75
]
[
x - 2 = \log_3 75
]
[
x = \log_3 75 + 2
]
Ответ:
[
\boxed{
x = 2 + \log_3 75
}
]
Если нужно получить численное значение, можно использовать приближенные значения логарифма. Например, поскольку:
[
\log_3 75 = \frac{\ln 75}{\ln 3}
]
где (\ln) — натуральный логарифм.
Вывод:
Решение уравнения сводится к выражению ( x ) через логарифм по основанию 3:
[
x = 2 + \log_3 75
]
Если нужно, могу помочь с численным приближением или дальнейшими объяснениями!
