Общие затраты фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, составляют 2Q3 - 16Q2 + 300Q + 150 000. При какой цене фирме становится невыгодным работать на этом рынке в…
Общие затраты фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, составляют 2Q3 - 16Q2 + 300Q + 150 000. При какой цене фирме становится невыгодным работать на этом рынке в краткосрочном периоде?
Давайте разберем задачу по шагам, чтобы понять, при какой цене фирме становится невыгодно работать в краткосрочном периоде.
Дано:
Общие затраты фирмы: \( C(Q) = 2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000 \)
Цель:
Найти такую цену \( P \), при которой фирма в краткосрочном периоде перестает работать (то есть, её прибыль равна нулю или она начинает невыгодно работать).
Шаг 1: Определение условий выхода из рынка
В условиях совершенной конкуренции цена равна цене рынка и при этом фирма максимизирует прибыль.
Фирма продолжает работу, если ее прибыль положительна или равна нулю, то есть:
\[
\text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Затраты} \ge 0
\]
Выручка: \( R(Q) = P \times Q \)
Значит, условие для выхода:
\[
P \times Q - C(Q) \le 0
\]
или
\[
P \times Q \le C(Q)
\]
Фирма прекращает работу, когда она не может покрыть свои переменные затраты, или когда прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде фирма обычно закрывается, если цена падает ниже минимальной из предельных издержек.
Шаг 2: Нахождение предельных издержек
Предельные издержки — это прирост общих затрат при производстве дополнительной единицы продукции:
\[
MC(Q) = \frac{dC}{dQ}
\]
Найдем производную функции затрат:
\[
C(Q) = 2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000
\]
\[ MC(Q) = \frac{d}{dQ} (2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000) = 6Q^2 - 32Q + 300 \]
Шаг 3: Условие выхода на уровень предельных издержек
Фирма перестает работать, если цена падает до уровня минимальных предельных издержек, потому что при этом фирма не может покрыть даже свои переменные издержки.
В условиях конкурентного рынка цена равна предельным издержкам в точке оптимальной работы:
\[ P = MC(Q) \]
Чтобы найти минимальную цену, при которой фирма все еще работает, нужно найти минимум функции \(MC(Q)\):
\[ MC(Q) = 6Q^2 - 32Q + 300 \]
Шаг 4: Нахождение минимального значения функции \(MC(Q)\)
Найдем производную \(MC(Q)\) по \(Q\):
\[ MC'(Q) = 12Q - 32 \]
Приравниваем к нулю для поиска экстремума:
\[ 12Q - 32 = 0 \Rightarrow Q = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \approx 2.666\ldots \]
Это точка минимума функции предельных издержек, так как второй производной:
\[ MC''(Q) = 12 > 0 \]
то есть, минимум достигается в этой точке.
Шаг 5: Находим минимальные предельные издержки
Подставляем \(Q = \frac{8}{3}\) в \(MC(Q)\):
\[ MC\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 32 \left(\frac{8}{3}\right) + 300 \]
Рассчитаем шаг за шагом:
\[ \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9} \]
\[ 6 \times \frac{64}{9} = \frac{384}{9} = \frac{128}{3} \]
\[ -32 \times \frac{8}{3} = - \frac{256}{3} \]
Теперь складываем все:
\[ MC_{min} = \frac{128}{3} - \frac{256}{3} + 300 \]
Объединим дроби:
\[ \frac{128 - 256}{3} + 300 = -\frac{128}{3} + 300 \]
Преобразуем 300 в дробь с знаменателем 3:
\[ 300 = \frac{900}{3} \]
Итак,
\[ MC_{min} = -\frac{128}{3} + \frac{900}{3} = \frac{900 - 128}{3} = \frac{772}{3} \approx 257.33 \]
Ответ:
Минимальная цена, при которой фирма остается прибыльной или безубыточной, составляет примерно 257.33.
Следовательно, при цене ниже (~257.33) фирма станет нерентабельной и в краткосрочном периоде перестанет работать.
Если нужно, я могу помочь дополнительно с графиком или деталями!
