Общие затраты фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, составляют 2Q3 - 16Q2 + 300Q + 150 000. При какой цене фирме становится невыгодным работать на этом рынке в краткосрочном периоде?

Давайте разберем задачу по шагам, чтобы понять, при какой цене фирме становится невыгодно работать в краткосрочном периоде. **Дано:** Общие затраты фирмы: \( C(Q) = 2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000 \) **Цель:** Найти такую цену \( P \), при которой фирма в краткосрочном периоде перестает работать (то есть, её прибыль равна нулю или она начинает невыгодно работать). --- ### Шаг 1: Определение условий выхода из рынка В условиях совершенной конкуренции цена равна цене рынка и при этом фирма максимизирует прибыль. Фирма продолжает работу, если ее прибыль положительна или равна нулю, то есть: \[ \text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Затраты} \ge 0 \] Выручка: \( R(Q) = P \times Q \) Значит, условие для выхода: \[ P \times Q - C(Q) \le 0 \] или \[ P \times Q \le C(Q) \] Фирма прекращает работу, когда она не может покрыть свои переменные затраты, или когда прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде фирма обычно закрывается, если цена падает ниже минимальной из предельных издержек. --- ### Шаг 2: Нахождение предельных издержек Предельные издержки — это прирост общих затрат при производстве дополнительной единицы продукции: \[ MC(Q) = \frac{dC}{dQ} \] Найдем производную функции затрат: \[ C(Q) = 2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000 \] \[ MC(Q) = \frac{d}{dQ} (2Q^3 - 16Q^2 + 300Q + 150\,000) = 6Q^2 - 32Q + 300 \] --- ### Шаг 3: Условие выхода на уровень предельных издержек Фирма перестает работать, если цена падает до уровня минимальных предельных издержек, потому что при этом фирма не может покрыть даже свои переменные издержки. В условиях конкурентного рынка цена равна предельным издержкам в точке оптимальной работы: \[ P = MC(Q) \] Чтобы найти минимальную цену, при которой фирма все еще работает, нужно найти минимум функции \(MC(Q)\): \[ MC(Q) = 6Q^2 - 32Q + 300 \] --- ### Шаг 4: Нахождение минимального значения функции \(MC(Q)\) Найдем производную \(MC(Q)\) по \(Q\): \[ MC'(Q) = 12Q - 32 \] Приравниваем к нулю для поиска экстремума: \[ 12Q - 32 = 0 \Rightarrow Q = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \approx 2.666\ldots \] Это точка минимума функции предельных издержек, так как второй производной: \[ MC''(Q) = 12 > 0 \] то есть, минимум достигается в этой точке. --- ### Шаг 5: Находим минимальные предельные издержки Подставляем \(Q = \frac{8}{3}\) в \(MC(Q)\): \[ MC\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 32 \left(\frac{8}{3}\right) + 300 \] Рассчитаем шаг за шагом: \[ \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9} \] \[ 6 \times \frac{64}{9} = \frac{384}{9} = \frac{128}{3} \] \[ -32 \times \frac{8}{3} = - \frac{256}{3} \] Теперь складываем все: \[ MC_{min} = \frac{128}{3} - \frac{256}{3} + 300 \] Объединим дроби: \[ \frac{128 - 256}{3} + 300 = -\frac{128}{3} + 300 \] Преобразуем 300 в дробь с знаменателем 3: \[ 300 = \frac{900}{3} \] Итак, \[ MC_{min} = -\frac{128}{3} + \frac{900}{3} = \frac{900 - 128}{3} = \frac{772}{3} \approx 257.33 \] --- ### **Ответ:** Минимальная цена, при которой фирма остается прибыльной или безубыточной, составляет примерно **257.33**. **Следовательно, при цене ниже (~257.33)** фирма станет нерентабельной и в краткосрочном периоде перестанет работать. --- Если нужно, я могу помочь дополнительно с графиком или деталями!