Давайте подробно разберём задачу по нахождению предела последовательности:
[
y_n = \frac{-5n^2 - 6n + 8}{8n^3 - 9n - 8} + 4\sqrt{n} + \frac{2}{n} + 8
]
при ( n \to \infty ).
Шаг 1: Анализ каждого члена
Последовательность состоит из нескольких частей:
- (\frac{-5n^2 - 6n + 8}{8n^3 - 9n - 8})
- (4\sqrt{n})
- (\frac{2}{n})
- Константа (8)
Рассмотрим их по отдельности.
Шаг 2: Анализ дроби
[
\frac{-5n^2 - 6n + 8}{8n^3 - 9n - 8}
]
Для больших (n) доминирующими в числителе и знаменателе являются степени:
- в числителе: (-5n^2)
- в знаменателе: (8n^3)
Чтобы упростить, разделим числитель и знаменатель на (n^2):
[
\frac{-5 - \frac{6}{n} + \frac{8}{n^2}}{8n - \frac{9}{n} - \frac{8}{n^2}}
]
Обратите внимание, что я неправильно разделил - нужно корректно:
На самом деле, чтобы упростить дробь, делим числитель и знаменатель на (n^2):
[
\frac{-5 - \frac{6}{n} + \frac{8}{n^2}}{8 \frac{n^3}{n^2} - 9 \frac{n}{n^2} - \frac{8}{n^2}} = \frac{-5 - \frac{6}{n} + \frac{8}{n^2}}{8n - \frac{9}{n} - \frac{8}{n^2}}
]
Но это усложняет. Лучше делать это так: разделим numerator и denominator на (n^3) (большая степень, чем в числителе), чтобы увидеть поведение.
Делим numerators и denominators на (n^3):
[
\frac{-5n^2 - 6n + 8}{8n^3 - 9n - 8} = \frac{\frac{-5n^2}{n^3} + \frac{-6n}{n^3} + \frac{8}{n^3}}{\frac{8n^3}{n^3} - \frac{9n}{n^3} - \frac{8}{n^3}} = \frac{-5/n - 6/n^2 + 8/n^3}{8 - 9/n^2 - 8/n^3}
]
Теперь, при (n \to \infty):
[
-5/n \to 0, \quad -6/n^2 \to 0, \quad 8/n^3 \to 0,
]
[
8 - 9/n^2 - 8/n^3 \to 8.
]
Следовательно,
[
\frac{-5/n - 6/n^2 + 8/n^3}{8 - 9/n^2 - 8/n^3} \to \frac{0}{8} = 0.
]
Итак, предел первой дроби — 0.
Шаг 3: Анализ остальных слагаемых
- (4 \sqrt{n}) — при (n \to \infty), (\sqrt{n} \to \infty), значит (4 \sqrt{n} \to \infty).
- (\frac{2}{n} \to 0) при (n \to \infty).
- Константа (8) — постоянна.
Шаг 4: Итог
Общий вид последовательности при больших (n):
[
y_n \approx 0 + 4\sqrt{n} + 0 + 8 = 4\sqrt{n} + 8.
]
Поскольку (\sqrt{n} \to \infty), то (4\sqrt{n} \to \infty), значит:
[
y_n \to \infty.
]
Ответ: предел не существует, он равен бесконечности.
Ввод: "бск".
