приведи такой же пример задания и подробно опиши решение
Вот пример задания, аналогичного твоему, и подробное решение с объяснениями:
Пример задания:
Найдите корень уравнения:
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^{2x} = 16
\]
Разбор решения:
Записать исходное уравнение:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} = 16 \]Выразить 16 в виде степени (если возможно):
16 — это степень двойки:
\[ 16 = 2^4 \]Записать левую часть уравнения с помощью степеней, чтобы иметь одинаковую основу (если возможно):
Обратим внимание на основание \(\frac{3}{4}\). Можно представить его через проценты или оставить как есть. Однако, так как 2 — это основание правой части, лучше сначала заметить, что \(\frac{3}{4}\) — это не в степени 2, поэтому проще оставить оба выражения в виде степеней и применить логарифмы.Использовать логарифм обеих частей уравнения:
Применим логарифм по основанию \(\frac{3}{4}\):
\[ \log_{\frac{3}{4}}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{2x}\right) = \log_{\frac{3}{4}} 16 \]
Левая часть: по свойству логарифма:
\[
2x = \log_{\frac{3}{4}} 16
\]
- Вычислить \(\log_{\frac{3}{4}} 16\):
Используем define:
\[ \log_a b = c \iff a^c = b \] то есть:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{c} = 16 \]
Рассмотрим это уравнение:
Запишем:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^c = 16 \]Посмотрим на это уравнение: \(\frac{3}{4}\) — число меньше 1, а 16 — больше 1.
Значит, чтобы получить число больше 1, нужно возводить в отрицательную степень:
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^{c} = 16 \] используя свойство отрицательной степени:
\[ \left(\frac{4}{3}\right)^{-c} = 16 \]
Перепишем:
\[
\left(\frac{4}{3}\right)^{-c} = 16
\]
Обозначим: \( t = -c \), тогда получим:
\[
\left(\frac{4}{3}\right)^t = 16
\]
Теперь возьмем логарифм по основанию \(\frac{4}{3}\):
\[
t = \log_{\frac{4}{3}} 16
\]
Вычислим \( t \):
Значения основания и числа:
- \(\log_{\frac{4}{3}} 16 = \frac{\ln 16}{\ln \frac{4}{3}}\)
Используем свойства натуральных логарифмов:
\[ t = \frac{\ln 16}{\ln \frac{4}{3}} \]
\(\ln 16 = \ln 2^4 = 4 \ln 2\)
\(\ln \frac{4}{3} = \ln 4 - \ln 3 = 2 \ln 2 - \ln 3\)
Так что:
\[ t = \frac{4 \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \]
Теперь возвращаемся к \( c = -t \):
\[ c = - \frac{4 \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \]
Поскольку мы нашли, что:
\[ 2x = c = - \frac{4 \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \] то, решая для \( x \), получаем:
\[ x = \frac{c}{2} = - \frac{2 \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \]
Ответ:
\[
\boxed{
x = - \frac{2 \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3}
}
\]
Это — точное выражение корня уравнения. Для приближённого значения нужно подставить численные значения логарифмов, но для общего решения оставим его в таком виде.
Если ты хочешь, я могу подготовить ещё один пример или помочь с каким-либо другим заданием!
