Дать ответ

Давайте решим данный неособенный интеграл: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x e^x dx \] Это интеграл вида \( \int x e^x dx \), его можно решить с помощью интегрирования по частям. **Шаг 1. Запишем формулу интегрирования по частям:** \[ \int u dv = uv - \int v du \] Выбираем: - \( u = x \), значит \( du = dx \) - \( dv = e^x dx \), значит \( v = e^x \) **Шаг 2. Подставляем в формулу:** \[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \] Интеграл \( \int e^x dx = e^x \) Итак, \[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \] **Шаг 3. Теперь вычислим определённый интеграл:** \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x e^x dx = \left[ e^x (x - 1) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] Подставляем верхний предел \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \] Подставляем нижний предел \( x=0 \): \[ e^{0} (0 - 1) = 1 \times (-1) = -1 \] **Шаг 4. Итог:** \[ e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) - (-1) = e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) + 1 \] Теперь сравниваем с вариантами ответа. Варианты: а) \( \frac{3}{2} \) б) \( 1 \) в) \( \frac{\pi}{2} \) г) Дорого стоит Ни один из первых двух вариантов не совпадает, а последний — не является числом. Следовательно, правильный ответ: \[ \boxed{e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + 1} \] Если по условию нужно выбрать один из предложенных вариантов, то наиболее близкий – **вариант 4 ("дорого стоит")**, что, судя по всему, шутка или опечатка. На практике правильный ответ — это выражение: \[ e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + 1 \] Если есть уточнения, пожалуйста, скажите!