дать ответ

Давайте решим данный неособенный интеграл:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x e^x dx \]

Это интеграл вида \( \int x e^x dx \), его можно решить с помощью интегрирования по частям.

Шаг 1. Запишем формулу интегрирования по частям:

\[ \int u dv = uv - \int v du \]

Выбираем:

• \( u = x \), значит \( du = dx \)
• \( dv = e^x dx \), значит \( v = e^x \)

Шаг 2. Подставляем в формулу:

\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx \]

Интеграл \( \int e^x dx = e^x \)

Итак,

\[ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \]

Шаг 3. Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x e^x dx = \left[ e^x (x - 1) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]

Подставляем верхний предел \( x = \frac{\pi}{2} \):

\[ e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \]

Подставляем нижний предел \( x=0 \):

\[ e^{0} (0 - 1) = 1 \times (-1) = -1 \]

Шаг 4. Итог:

\[ e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) - (-1) = e^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) + 1 \]

Теперь сравниваем с вариантами ответа. Варианты:
а) \( \frac{3}{2} \)
б) \( 1 \)
в) \( \frac{\pi}{2} \)
г) Дорого стоит

Ни один из первых двух вариантов не совпадает, а последний — не является числом.

Следовательно, правильный ответ:

\[ \boxed{e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + 1} \]

Если по условию нужно выбрать один из предложенных вариантов, то наиболее близкий – вариант 4 ("дорого стоит"), что, судя по всему, шутка или опечатка. На практике правильный ответ — это выражение:

\[ e^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + 1 \]

Если есть уточнения, пожалуйста, скажите!