Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Прямоугольный треугольник
- Один из катетов равен 10
- Угол, лежащий напротив этого катета, равен 45°
Шаг 1: Определим, какой катет равен 10
У нас есть два варианта:
- Катет, напротив которого угол 45°, равен 10
- Или другой катет равен 10
Так как в условии указано, что "один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°", то очевидно, что этот катет — тот, который расположен напротив угла в 45°, то есть он равен 10.
Шаг 2: Используем свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то треугольник является равнобедренным и катеты, лежащие напротив равных углов, равны.
Но в данном случае, у нас один катет равен 10, а угол, напротив этого катета, равен 45°. Значит, это катет, лежащий напротив угла в 45°, равен 10. Тогда другой катет — тоже равен этому же значению, потому что в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны.
Шаг 3: Проверка условия
Поскольку угол напротив катета равен 45°, то:
- Катет, напротив него, равен 10
- Другой катет также равен 10 (по свойствам равнобедренного треугольника)
Шаг 4: Найдём гипотенузу
Гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где (a) и (b) — катеты.
Подставим значения:
[
c = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
]
Шаг 5: Находим площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника с катетами (a) и (b):
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = \frac{1}{2} \times 100 = 50
]
Ответ:
Площадь данного прямоугольного треугольника равна 50.
