В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• Один из катетов равен 10
• Угол, лежащий напротив этого катета, равен 45°

Шаг 1: Определим, какой катет равен 10

У нас есть два варианта:

• Катет, напротив которого угол 45°, равен 10
• Или другой катет равен 10

Так как в условии указано, что "один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°", то очевидно, что этот катет — тот, который расположен напротив угла в 45°, то есть он равен 10.

Шаг 2: Используем свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то треугольник является равнобедренным и катеты, лежащие напротив равных углов, равны.

Но в данном случае, у нас один катет равен 10, а угол, напротив этого катета, равен 45°. Значит, это катет, лежащий напротив угла в 45°, равен 10. Тогда другой катет — тоже равен этому же значению, потому что в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны.

Шаг 3: Проверка условия

Поскольку угол напротив катета равен 45°, то:

• Катет, напротив него, равен 10
• Другой катет также равен 10 (по свойствам равнобедренного треугольника)

Шаг 4: Найдём гипотенузу

Гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \(a\) и \(b\) — катеты.

Подставим значения: \[ c = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]

Шаг 5: Находим площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\): \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \]

Ответ:

Площадь данного прямоугольного треугольника равна 50.