Разберем каждое выражение по порядку и с подробными объяснениями.
Задача 1. Упростите выражение:
(2m+1) * (2m - a) / (2m + 1) * (2m - 1) : (4m + 110m - 5)
Шаг 1. Распишем внимательно.
- Обратите внимание на то, что в выражении есть произведение и деление.
- Обычно, если есть одинаковые множители в числителе и знаменателе, их можно сократить.
Запишем более аккуратно:
[
\frac{(2m+1)(2m - a)}{(2m+1)(2m - 1)} : (4m + 110m - 5)
]
Шаг 2. Упростим первое выражение.
- В числителе и знаменателе есть ( (2m+1) ), они сокращаются:
[
\frac{2m - a}{2m - 1}
]
Шаг 3. Упростим деление на последнее выражение.
Деление — это умножение на обратное число:
[
\frac{2m - a}{2m - 1} \times \frac{1}{4m + 110m - 5}
]
Посчитаем ( 4m + 110m - 5 ):
[
4m + 110m - 5 = 114m - 5
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{2m - a}{(2m - 1)(114m - 5)}
}
]
Задача 2. Упростите выражение:
(x + 3)/(x^2 + 9) * ((x + 3)/(x - 3) + (x - 3)/(x + 3))
Шаг 1. Обратите внимание на сумму в скобках.
Обозначим:
[
S = \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3}
]
Чтобы сложить, приведем к общему знаменателю:
[
S = \frac{(x + 3)^2 + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}
]
Шаг 2. Посчитаем числитель:
[
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
]
[
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
]
Складываем:
[
x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2 + 18
]
Общий знаменатель:
[
(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9
]
Значит,
[
S = \frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}
]
Шаг 3. Упростим ( S ).
Выносим 2 в числителе:
[
S = \frac{2(x^2 + 9)}{x^2 - 9}
]
Теперь вернемся к исходному выражению:
[
\frac{x + 3}{x^2 + 9} \times S = \frac{x + 3}{x^2 + 9} \times \frac{2(x^2 + 9)}{x^2 - 9}
]
Шаг 4. Упростим.
Обратите внимание, что ( (x^2 + 9) ) в числителе и знаменателе сократятся:
[
= (x + 3) \times \frac{2}{x^2 - 9}
]
Дальше упростим знаменатель:
[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
]
И, так как мы уже есть ( x + 3 ) в числителе, он сократится с частью знаменателя, получим:
[
\frac{2(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x - 3}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{2}{x - 3}}
]
Задача 3. Упростите выражение:
(a^2 - 9)/(2a^2 + 1) * ((6a + 1)/(a - 3) + (6a - 1)/(a + 3))
Шаг 1. Упростим сумму.
Обозначим:
[
T = \frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
T = \frac{(6a + 1)(a + 3) + (6a - 1)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}
]
Шаг 2. Раскроем скобки в числителе:
( (6a + 1)(a + 3) = 6a \times a + 6a \times 3 + 1 \times a + 1 \times 3 = 6a^2 + 18a + a + 3 = 6a^2 + 19a + 3 )
( (6a - 1)(a - 3) = 6a \times a - 6a \times 3 - 1 \times a + 1 \times 3 = 6a^2 - 18a - a + 3 = 6a^2 - 19a + 3 )
Сложим:
[
6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3 = 12a^2 + 6
]
Общий знаменатель:
[
a^2 - 9
]
Шаг 3. Итог:
[
T = \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9}
]
Вынесем 6 за скобки:
[
T = \frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}
]
Шаг 4. Упростим исходное выражение:
[
\frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \times T = \frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \times \frac{6(2a^2 + 1)}{a^2 - 9}
]
Обратите внимание — все сокращается:
[
= 6
]
Итог:
[
\boxed{6}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения по другим выражениям, я готов помочь!
