3^√125-2*4^√81/16

Давайте разберем выражение:

\[ 3^{\sqrt{125}} - 2 \times 4^{\sqrt{81}} / 16 \]

Шаг 1. Вычислим корни:

• \(\sqrt{125}\):
  125 — это \(5^3\), поэтому:
  \(\sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{3/2}\)

• \(\sqrt{81}\):
  81 — это \(9^2\) или \(3^4\), но проще заметить, что \(\sqrt{81} = 9\).

Шаг 2. Подставим значение \(\sqrt{81} = 9\):

\[ 3^{5^{3/2}} - 2 \times 4^{9} / 16 \]

Шаг 3. Вычислим \(4^{9}\):

• \(4 = 2^2\), значит:
  \[ 4^{9} = (2^2)^9 = 2^{2 \times 9} = 2^{18} \]

Шаг 4. Подставим обратно:

\[ 3^{5^{3/2}} - 2 \times 2^{18} / 16 \]

Шаг 5. Упростим дробную часть: \(2 \times 2^{18}\):

\[ 2 \times 2^{18} = 2^{1} \times 2^{18} = 2^{1+18} = 2^{19} \]

И так у нас получается:

\[ 3^{5^{3/2}} - \frac{2^{19}}{16} \]

Шаг 6. Упростим деление \(\frac{2^{19}}{16}\):

• \(16 = 2^4\), значит:

\[ \frac{2^{19}}{2^4} = 2^{19-4} = 2^{15} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ 3^{5^{3/2}} - 2^{15} \]

Шаг 7. Определим \(5^{3/2}\):

• \(5^{3/2} = (5^{1/2})^{3} = (\sqrt{5})^{3}\):

\(\sqrt{5} \approx 2.236\), значит:

\[ (\sqrt{5})^{3} \approx (2.236)^3 \approx 2.236 \times 2.236 \times 2.236 \]

Посчитаем:

• \(2.236 \times 2.236 \approx 5\) (приблизительно)
• Тогда: \(5 \times 2.236 \approx 11.18\)

Итак, \(\approx 11.18\).

Шаг 8. Тогда выражение стало:

\[ 3^{11.18} - 2^{15} \]

• \(2^{15} = 32768\)

• \(3^{11.18}\):
  Без точных вычислений — примерно,
  \(3^{11} = 177147\)

• \(3^{11.18} \approx 3^{11} \times 3^{0.18}\)

• \(3^{0.18} \approx e^{0.18 \ln 3}\)

\(\ln 3 \approx 1.0986\)

Тогда:

\[ e^{0.18 \times 1.0986} = e^{0.1978} \approx 1 + 0.1978 + \frac{0.1978^2}{2} \approx 1 + 0.1978 + 0.0196 = 1.217 \]

Итак,

\[ 3^{11.18} \approx 177147 \times 1.217 \approx 177147 \times 1.217 \approx 215680 \]

Итоговая разница:

\[ \boxed{215680 - 32768 \approx 182912} \]

Ответ: приблизительно 182912.

Если нужны более точные вычисления, можно воспользоваться калькулятором, но для большинства задач это достаточно.