Давайте разберем задачу и пошагово вывести вектор ( \vec{BM} ) через заданные векторы ( \vec{a} = \vec{BA} ) и ( \vec{b} = \vec{BC} ).
Шаг 1: Обозначения и исходные данные
- Треугольник ( ABC )
- ( M ) — середина отрезка ( A C ) (медиана, опущенная из вершины ( B ))
- Векторы:
[
\vec{a} = \vec{BA}, \quad \vec{b} = \vec{BC}
]
Рассматриваем точку ( B ) как начало вектора, так как векторы заданы от ( B ).
Шаг 2: Выразим точки и векторы:
- ( A ) — точка
- ( C ) — точка
- ( M ) — середина отрезка ( A C )
Поскольку ( M ) — середина ( A C ), то по свойствам середины:
[
\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC}
]
Но нужно выразить вектор ( \vec{BM} ). Для этого интересно рассчитать координаты точки ( M ) относительно точки ( B ).
Шаг 3: Выразим ( \vec{AM} ) и ( \vec{AC} ) через векторы
- Вектор ( \vec{AB} = -\vec{a} ) (так как ( \vec{a} = \vec{BA} ))
- Вектор ( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} )
Но лучше определить точку ( A ):
[
\vec{A} = \vec{B} + \vec{a}
]
Определим точку ( C ):
[
\vec{C} = \vec{B} + \vec{b}
]
Тогда:
[
\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{A} - \vec{C}) = \frac{1}{2} [(\vec{B} + \vec{a}) - (\vec{B} + \vec{b})] = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})
]
Точка ( M ) — это середина ( A C ), то есть:
[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{B} + \vec{a}) + (\vec{B} + \vec{b})}{2} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b}}{2}
]
Вектор ( \vec{BM} ):
[
\vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{B} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{B}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}
]
Итоговая формула:
[
\boxed{
\vec{BM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}
}
]
Это означает, что вектор ( \vec{BM} ) является половиной суммы векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ).
Ответ: (\boxed{\displaystyle \vec{BM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}})
Если нужны более подробные объяснения — скажите!
