В треугольнике A B C ABC A A 1 AA 1 —медиана, M M—середина A A 1 AA 1 . Вырази вектор B M → BM через векторы a → = B A → a = BA и b → = B C → b = BC
Давайте разберем задачу и пошагово вывести вектор \( \vec{BM} \) через заданные векторы \( \vec{a} = \vec{BA} \) и \( \vec{b} = \vec{BC} \).
Шаг 1: Обозначения и исходные данные
- Треугольник \( ABC \)
- \( M \) — середина отрезка \( A C \) (медиана, опущенная из вершины \( B \))
- Векторы: \[ \vec{a} = \vec{BA}, \quad \vec{b} = \vec{BC} \]
Рассматриваем точку \( B \) как начало вектора, так как векторы заданы от \( B \).
Шаг 2: Выразим точки и векторы:
- \( A \) — точка
- \( C \) — точка
- \( M \) — середина отрезка \( A C \)
Поскольку \( M \) — середина \( A C \), то по свойствам середины:
\[ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC} \]
Но нужно выразить вектор \( \vec{BM} \). Для этого интересно рассчитать координаты точки \( M \) относительно точки \( B \).
Шаг 3: Выразим \( \vec{AM} \) и \( \vec{AC} \) через векторы
- Вектор \( \vec{AB} = -\vec{a} \) (так как \( \vec{a} = \vec{BA} \))
- Вектор \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \)
Но лучше определить точку \( A \):
\[ \vec{A} = \vec{B} + \vec{a} \]
Определим точку \( C \):
\[ \vec{C} = \vec{B} + \vec{b} \]
Тогда:
\[ \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{A} - \vec{C}) = \frac{1}{2} [(\vec{B} + \vec{a}) - (\vec{B} + \vec{b})] = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) \]
Точка \( M \) — это середина \( A C \), то есть:
\[ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\vec{B} + \vec{a}) + (\vec{B} + \vec{b})}{2} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b}}{2} \]
Вектор \( \vec{BM} \):
\[ \vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{B} = \frac{2 \vec{B} + \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{B}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]
Итоговая формула:
\[ \boxed{ \vec{BM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} } \]
Это означает, что вектор \( \vec{BM} \) является половиной суммы векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Ответ: \(\boxed{\displaystyle \vec{BM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}}\)
Если нужны более подробные объяснения — скажите!
