Докажите, что разность, произведения и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля)-числа рациональные

Конечно! Вот подробное доказательство того, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными.

Условие задачи:

Даны два рациональных числа \( a \) и \( b \), при этом делитель \( b \neq 0 \). Нужно доказать, что:

• их разность \( a - b \),
• их произведение \( a \times b \),
• их частное \( \frac{a}{b} \) (при \( b \neq 0 \))

являются рациональными числами.

Что такое рациональные числа?

Рациональные числа — это такие числа, которые можно записать в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \( p \) и \( q \) — целые числа, причём \( q \neq 0 \).

То есть,
\[ a = \frac{p_1}{q_1}, \quad b = \frac{p_2}{q_2}, \] где \( p_1, p_2, q_1, q_2 \) — целые числа, \( q_1 \neq 0 \), \( q_2 \neq 0 \).

Доказательство:

1. Доказательство для разности \( a - b \):

\[ a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2}. \]

Чтобы сложить или вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю:

\[ a - b = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} - \frac{p_2 q_1}{q_2 q_1} = \frac{p_1 q_2 - p_2 q_1}{q_1 q_2}. \]

Так как \( p_1, p_2, q_1, q_2 \) — целые числа, то и числитель \( p_1 q_2 - p_2 q_1 \) — целое число, и знаменатель \( q_1 q_2 \neq 0 \).

Следовательно, \( a - b \) — дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель — не равен нулю.

Что и есть определение рационального числа.

Итак, \( a - b \) — рационально.

2. Доказательство для произведения \( a \times b \):

\[ a \times b = \frac{p_1}{q_1} \times \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}. \]

Поскольку произведение целых чисел — целое, а произведение ненулевых целых чисел — тоже ненулевое (учитывая, что делитель \( b \neq 0 \), значит \( p_2 \neq 0 \) — так или иначе), то:

\[ a \times b = \frac{\text{целое число}}{\text{целое число} \neq 0}. \]

Следовательно, \( a \times b \) — рациональное число.

3. Доказательство для частного \( \frac{a}{b} \):

\[ \frac{a}{b} = \frac{\frac{p_1}{q_1}}{\frac{p_2}{q_2}} = \frac{p_1}{q_1} \times \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2}. \]

Здесь важно помнить, что \( p_2 \neq 0 \), так как \( b \neq 0 \), а \( b = \frac{p_2}{q_2} \), следовательно:

\[ p_2 \neq 0. \]

Все множители — целые числа, и знаменатель \( q_1 p_2 \neq 0 \).

Значит, \( \frac{a}{b} \) — дробь с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, то есть — рационально.

Итог:

Если \( a \) и \( b \) — рациональные числа, а \( b \neq 0 \), то:

• \( a - b \) — рационально,
• \( a \times b \) — рационально,
• \( \frac{a}{b} \) — рационально.

Если нужен более развернутый ответ или есть дополнительные вопросы, — обращайтесь!