Докажите, что разность, произведения и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля)-числа рациональные

Конечно! Вот подробное доказательство того, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными. --- ### Условие задачи: Даны два рациональных числа \( a \) и \( b \), при этом делитель \( b \neq 0 \). Нужно доказать, что: - их разность \( a - b \), - их произведение \( a \times b \), - их частное \( \frac{a}{b} \) (при \( b \neq 0 \)) являются рациональными числами. --- ### Что такое рациональные числа? Рациональные числа — это такие числа, которые можно записать в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \( p \) и \( q \) — целые числа, причём \( q \neq 0 \). То есть, \[ a = \frac{p_1}{q_1}, \quad b = \frac{p_2}{q_2}, \] где \( p_1, p_2, q_1, q_2 \) — целые числа, \( q_1 \neq 0 \), \( q_2 \neq 0 \). --- ### Доказательство: #### 1. **Доказательство для разности \( a - b \):** \[ a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2}. \] Чтобы сложить или вычесть дроби, приводим их к общему знаменателю: \[ a - b = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} - \frac{p_2 q_1}{q_2 q_1} = \frac{p_1 q_2 - p_2 q_1}{q_1 q_2}. \] Так как \( p_1, p_2, q_1, q_2 \) — целые числа, то и числитель \( p_1 q_2 - p_2 q_1 \) — целое число, и знаменатель \( q_1 q_2 \neq 0 \). **Следовательно, \( a - b \) — дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель — не равен нулю.** Что и есть определение рационального числа. **Итак, \( a - b \) — рационально.** --- #### 2. **Доказательство для произведения \( a \times b \):** \[ a \times b = \frac{p_1}{q_1} \times \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}. \] Поскольку произведение целых чисел — целое, а произведение ненулевых целых чисел — тоже ненулевое (учитывая, что делитель \( b \neq 0 \), значит \( p_2 \neq 0 \) — так или иначе), то: \[ a \times b = \frac{\text{целое число}}{\text{целое число} \neq 0}. \] **Следовательно, \( a \times b \) — рациональное число.** --- #### 3. **Доказательство для частного \( \frac{a}{b} \):** \[ \frac{a}{b} = \frac{\frac{p_1}{q_1}}{\frac{p_2}{q_2}} = \frac{p_1}{q_1} \times \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2}. \] Здесь важно помнить, что \( p_2 \neq 0 \), так как \( b \neq 0 \), а \( b = \frac{p_2}{q_2} \), следовательно: \[ p_2 \neq 0. \] Все множители — целые числа, и знаменатель \( q_1 p_2 \neq 0 \). **Значит, \( \frac{a}{b} \) — дробь с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, то есть — рационально.** --- ### Итог: Если \( a \) и \( b \) — рациональные числа, а \( b \neq 0 \), то: - \( a - b \) — рационально, - \( a \times b \) — рационально, - \( \frac{a}{b} \) — рационально. --- Если нужен более развернутый ответ или есть дополнительные вопросы, — обращайтесь!