Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если…

Рассмотрим задачу по шагам:

Дано:

• Скорость катера в собственных условиях: \( v_катер = 8\, \text{км/ч} \)
• Расстояние по течению и против течения: 15 км
• Общее время: 4 часа

Нам нужно найти скорость течения реки: \( v_реки = v \)

Обозначения:

• \( v \) — скорость течения реки (км/ч)
• Скорость катера по воде с учётом течения:
  • По течению: \( v_по = v_катер + v \)
  • Против течения: \( v_против = v_катер - v \)

Шаг 1: Запишем выражения для времени

Время на путь по течению: \[ t_1 = \frac{15}{v + 8} \]

Время на путь против течения: \[ t_2 = \frac{15}{8 - v} \]

Общее время: \[ t_1 + t_2 = 4 \text{ часа} \]

Подставим: \[ \frac{15}{v + 8} + \frac{15}{8 - v} = 4 \]

Шаг 2: Решение уравнения

Разделим обе части на 15: \[ \frac{1}{v + 8} + \frac{1}{8 - v} = \frac{4}{15} \]

Объединим левую часть, приведя к одному знаменателю: \[ \frac{(8 - v) + (v + 8)}{(v + 8)(8 - v)} = \frac{4}{15} \]

Упростим числитель: \[ (8 - v) + (v + 8) = 8 - v + v + 8 = 16 \]

Знаменатель: \[ (v + 8)(8 - v) \]

Запишем уравнение: \[ \frac{16}{(v + 8)(8 - v)} = \frac{4}{15} \]

Перемножим обе части на знаменатели: \[ 16 \times 15 = 4 (v + 8)(8 - v) \]

Теперь посчитаем левую часть: \[ 16 \times 15 = 240 \]

А правая — распишем: \[ 4 (v + 8)(8 - v) \]

Поделим обе части уравнения на 4: \[ \frac{240}{4} = (v + 8)(8 - v) \]

\[ 60 = (v + 8)(8 - v) \]

Раскроем скобки: \[ (v + 8)(8 - v) = v \times 8 - v^2 + 8 \times 8 - 8 v \]

или \[ = 8 v - v^2 + 64 - 8 v \]

Обратите внимание, что \( 8 v - 8 v = 0 \), так что остается: \[ - v^2 +64 \]

Поэтому уравнение: \[ - v^2 + 64 = 60 \]

Перенесём 60 в левую часть: \[ - v^2 + 4 = 0 \]

или \[ - v^2 = -4 \]

Умножим обе части на -1: \[ v^2 = 4 \]

Из этого:

\[ v = \pm 2\, \text{км/ч} \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, берем положительный вариант:

\[ v = 2\, \text{км/ч} \]

Ответ:

Скорость течения реки — 2 км/ч.

Если нужно, я могу дополнительно объяснить каждый этап решения!