Рассмотрим задачу по шагам:
Дано:
- Скорость катера в собственных условиях: ( v_катер = 8, \text{км/ч} )
- Расстояние по течению и против течения: 15 км
- Общее время: 4 часа
Нам нужно найти скорость течения реки: ( v_реки = v )
Обозначения:
- ( v ) — скорость течения реки (км/ч)
- Скорость катера по воде с учётом течения:
- По течению: ( v_по = v_катер + v )
- Против течения: ( v_против = v_катер - v )
Шаг 1: Запишем выражения для времени
Время на путь по течению:
[
t_1 = \frac{15}{v + 8}
]
Время на путь против течения:
[
t_2 = \frac{15}{8 - v}
]
Общее время:
[
t_1 + t_2 = 4 \text{ часа}
]
Подставим:
[
\frac{15}{v + 8} + \frac{15}{8 - v} = 4
]
Шаг 2: Решение уравнения
Разделим обе части на 15:
[
\frac{1}{v + 8} + \frac{1}{8 - v} = \frac{4}{15}
]
Объединим левую часть, приведя к одному знаменателю:
[
\frac{(8 - v) + (v + 8)}{(v + 8)(8 - v)} = \frac{4}{15}
]
Упростим числитель:
[
(8 - v) + (v + 8) = 8 - v + v + 8 = 16
]
Знаменатель:
[
(v + 8)(8 - v)
]
Запишем уравнение:
[
\frac{16}{(v + 8)(8 - v)} = \frac{4}{15}
]
Перемножим обе части на знаменатели:
[
16 \times 15 = 4 (v + 8)(8 - v)
]
Теперь посчитаем левую часть:
[
16 \times 15 = 240
]
А правая — распишем:
[
4 (v + 8)(8 - v)
]
Поделим обе части уравнения на 4:
[
\frac{240}{4} = (v + 8)(8 - v)
]
[
60 = (v + 8)(8 - v)
]
Раскроем скобки:
[
(v + 8)(8 - v) = v \times 8 - v^2 + 8 \times 8 - 8 v
]
или
[
= 8 v - v^2 + 64 - 8 v
]
Обратите внимание, что ( 8 v - 8 v = 0 ), так что остается:
[
Поэтому уравнение:
[
Перенесём 60 в левую часть:
[
или
[
Умножим обе части на -1:
[
v^2 = 4
]
Из этого:
[
v = \pm 2, \text{км/ч}
]
Так как скорость течения не может быть отрицательной, берем положительный вариант:
[
v = 2, \text{км/ч}
]
Ответ:
Скорость течения реки — 2 км/ч.
Если нужно, я могу дополнительно объяснить каждый этап решения!
