Задача: найти значения a, при которых один корень уравнения
(a − 2)x^2 − 2(a + 3)x + 4a = 0
меньше 2, а другой больше 3.
Исключим случай a = 2
Если a = 2, A = a − 2 = 0, и уравнение сводится к линейному: −2(a+3)x + 4a = 0 → x = 0.8. Тогда одного корня нет, условие не выполняется.
Обозначения и дискриминант
A = a − 2, B = −2(a + 3), C = 4a.
Дискриминант D = B^2 − 4AC = 4(a + 3)^2 − 16a(a − 2)
= −12a^2 + 56a + 36 = 4(−3a^2 + 14a + 9).
Чтобы было два вещественных корня, D > 0, то есть a ∈ ((7 − 2√19)/3, (7 + 2√19)/3) ≈ (−0.573, 5.239).
- Значения f(2) и f(3)
Пусть f(x) = (a − 2)x^2 − 2(a + 3)x + 4a. Тогда
f(2) = 4(a − 5),
f(3) = 7a − 36.
Свойство: если два корня r1 < r2 и 2, 3 лежат между r1 и r2, то f(2) и f(3) имеют одинаковый знак и этот знак противоположен знаку A (т. е. f(2) и f(3) имеют знак −sign(A)).
Рассмотрим два случая.
Case 1. a > 2 (A > 0). Тогда нужно f(2) < 0 и f(3) < 0.
- f(2) < 0 → a < 5
- f(3) < 0 → 7a − 36 < 0 → a < 36/7 ≈ 5.143
С учётом a > 2 получаем 2 < a < 5. При этом D > 0 выполняется для этого промежутка (он лежит внутри (−0.573, 5.239)).
Case 2. a < 2 (A < 0). Тогда нужно f(2) > 0 и f(3) > 0.
- f(2) > 0 → a > 5
- f(3) > 0 → a > 36/7 ≈ 5.143
Но эти условия противоречат a < 2, значит в этом случае решений нет.
Итого остаются только значения 2 < a < 5. Проверим на примере: возьмём a = 3.
Тогда уравнение: x^2 − 12x + 12 = 0, корни x ≈ 1.10 и x ≈ 10.90, т. е. один корень меньше 2, другой больше 3. Подтверждает результат.
- Ответ
Значения a, при которых выполняется условие задачи: 2 < a < 5.
