Формула Герона

Вот стандартная формула Герона.

• Пусть стороны треугольника — a, b, c. Полупериметр s = (a + b + c) / 2.
• Площадь треугольника равна: A = sqrt( s (s − a) (s − b) (s − c) ).

Эквивалентно можно записать без полупериметра: A = (1/4) sqrt( (a + b + c) (−a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) ).

Кратко как вывели:

• A = (1/2) a b sin C.
• По теореме косинусов cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab), поэтому sin C = sqrt(1 − cos^2 C).
• Подставив и упростив, получаем A = (1/4) sqrt(4a^2b^2 − (a^2 + b^2 − c^2)^2), которое равняется формуле Герона после преобразований.

Условия применения:

• a, b, c > 0 и выполняются неравенства треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
• При вырожденном треугольнике (одна сумма равна другой) площадь A = 0.

Пример:

• Пусть a = 5, b = 6, c = 7. s = (5 + 6 + 7)/2 = 9. A = sqrt(9 · (9−5) · (9−6) · (9−7)) = sqrt(9 · 4 · 3 · 2) = sqrt(216) = 6√6 ≈ 14.70.