В мешке есть шарики, на каждом из которых написано двузначное число от 10 до 99 (каждое — по одному разу). Какое наименьшее количество шариков нужно достать из мешка не глядя так,…

Задача сводится к принципу Дирихле (помещаю в рамки средней школы).

Цель: понять, какое минимальное количество шариков нужно достать, чтобы обязательно оказался шарик с числом, делящимся на 3 или на 7 (или на оба).

1. Общее множество

• В мешке лежит 90 двухзначных чисел: от 10 до 99 inclusive.

2. Найдем, сколько чисел делится на 3 или на 7

• Делящихся на 3: 30 чисел. Подробно: минимальное двухзначное кратное 3 — 12, максимальное — 99. Их количество равно (99 − 12)/3 + 1 = 30.
• Делящихся на 7: 13 чисел. Подробно: минимальное двухзначное кратное 7 — 14, максимальное — 98. Их количество равно (98 − 14)/7 + 1 = 13.
• Пересечение (делящихся на 3 и на 7 одновременно, то есть на 21): 4 числа (21, 42, 63, 84).

По формуле включения-исключения: Чисел, делящихся на 3 или на 7, = 30 + 13 − 4 = 39.

3. Числа, не делящиеся ни на 3, ни на 7

• Всего чисел: 90.
• Не делятся ни на 3, ни на 7: 90 − 39 = 51.

4. Применение принципа Дирихле

• Можно выбрать 51 чисел так, чтобы среди них не было ни одного, делящегося на 3 или на 7.
• Следовательно, если достать 52 шарика, то хоть один из них обязательно окажется числом, делящимся на 3 или на 7.

Ответ: минимальное количество шариков — 52.