В мешке есть шарики, на каждом из которых написано двузначное число от 10 до 99 (каждое — по одному разу). Какое наименьшее количество шариков нужно достать из мешка не глядя так, чтобы среди них наверняка нашлось число, которое делится на 3 или на 7 (или и на то, и на другое сразу)?

Задача сводится к принципу Дирихле (помещаю в рамки средней школы). Цель: понять, какое минимальное количество шариков нужно достать, чтобы обязательно оказался шарик с числом, делящимся на 3 или на 7 (или на оба). 1) Общее множество - В мешке лежит 90 двухзначных чисел: от 10 до 99 inclusive. 2) Найдем, сколько чисел делится на 3 или на 7 - Делящихся на 3: 30 чисел. Подробно: минимальное двухзначное кратное 3 — 12, максимальное — 99. Их количество равно (99 − 12)/3 + 1 = 30. - Делящихся на 7: 13 чисел. Подробно: минимальное двухзначное кратное 7 — 14, максимальное — 98. Их количество равно (98 − 14)/7 + 1 = 13. - Пересечение (делящихся на 3 и на 7 одновременно, то есть на 21): 4 числа (21, 42, 63, 84). По формуле включения-исключения: Чисел, делящихся на 3 или на 7, = 30 + 13 − 4 = 39. 3) Числа, не делящиеся ни на 3, ни на 7 - Всего чисел: 90. - Не делятся ни на 3, ни на 7: 90 − 39 = 51. 4) Применение принципа Дирихле - Можно выбрать 51 чисел так, чтобы среди них не было ни одного, делящегося на 3 или на 7. - Следовательно, если достать 52 шарика, то хоть один из них обязательно окажется числом, делящимся на 3 или на 7. Ответ: минимальное количество шариков — 52.