Корень в квадрате

Ниже разберём два наиболее распространённых варианта под названием “корень в квадрате” и приведём подробное решение с примерами. 1) (√a)^2 = a, при условии a ≥ 0 - По определению квадратного корня √a существует только для неотрицательных a, и √a ≥ 0. - Это значит, что если a ≥ 0, то (√a)^2 = a. - Пример: (√9)^2 = 9, (√0)^2 = 0. - Важное ограничение: если a < 0, выражение √a не определено в вещественных числах, поэтому нельзя писать (√a)^2 как что-то другое. 2) √(a^2) = |a| - Здесь под корнем у нас квадрат числа a. После взятия квадратного корня мы получаем неотрицательное число. - Значит корень из квадрата даёт абсолютное значение: √(a^2) = |a|. - Примеры: - a = 5: √(5^2) = √25 = 5 = |5|. - a = -5: √((-5)^2) = √25 = 5 = |-5|. - Следствие: √(a^2) можно заменить на a только если известно, что a ≥ 0. В противном случае правильнее писать |a|. Пошагово для обоих случаев с примерами - Пример 1: Найдите (√16)^2. 1) √16 = 4 (положительное число). 2) 4^2 = 16. Ответ: 16. - Пример 2: Найдите √(7^2). 1) 7^2 = 49. 2) √49 = 7 = |7|. Ответ: 7. - Пример 3: Найдите √((-3)^2). 1) (-3)^2 = 9. 2) √9 = 3 = |-3|. Ответ: 3. Типичные ошибки - В выражении √(a^2) сразу писать a без учёта знака. Верно: √(a^2) = |a|. - Считать, что √a = a для любого a. Неправильно: существует ограничение a ≥ 0. - Игнорировать определение корня как неотрицательного числа. Итоговые правила - (√a)^2 = a для любого a ≥ 0. - √(a^2) = |a| для любого действительного a. - Если нужно заменить √(a^2) на a, обязательно учтите знак a: это верно только когда a ≥ 0. Если ваша конкретная задача другая (например, √(x^2 − 4) или другой вид выражения), напишите точное выражение — дам пошаговое решение именно под него.