В треугольнике ABC известно, что угол C = 90°, а его высота и биссектриса BL пересекаются в точке M, причем M - середина отрезка BL. Найдите AB, если BC = 16.

Решение с использованием координат. Условия: угол C = 90°, BC = 16. Пусть треугольник лежит в системе координат так, чтобы C = (0,0), B = (0,16) (по оси y), A = (a, 0) на оси x. Тогда AB = sqrt(a^2 + 16^2) = sqrt(a^2 + 256). Обозначим AB = s. 1) Биссектриса BL. Локальная сторона AC лежит на оси x от 0 до a. Точка L лежит на AC, координата L = (t, 0). По теореме о биссектрисе AL/LC = AB/BC = s/16. LC = t, AL = a − t, значит (a − t)/t = s/16 → t = (16a)/(16 + s). 2) Высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. Гипотенуза AB проходит через A(a,0) и B(0,16). Её наклон равен (16−0)/(0−a) = −16/a, следовательно высота из C перпендикулярна AB имеет наклон a/16 и уравнение y = (a/16) x. 3) Точка пересечения M и условие, что она середина BL. Точка B и L имеют координаты B(0,16) и L(t,0). Их середина: M = ((0 + t)/2, (16 + 0)/2) = (t/2, 8). По условию M лежит на высоте: 8 = (a/16) · (t/2) ⇒ a t = 256. (Уравнение A) 4) Совмещаем с выражением t. Из п.1 t = 16a/(16 + s). Подставляем в a t = 256: a · [16a/(16 + s)] = 256 16 a^2 = 256(16 + s) ⇒ 16 a^2 = 4096 + 256 s ⇒ a^2 = 256 + 16 s. 5) Связь s и a через треугольник. Из треугольника ABC правая сторона: s^2 = a^2 + 256. Подставим a^2 из п.4: s^2 = (256 + 16 s) + 256 = 512 + 16 s. Получаем квадратное уравнение: s^2 − 16s − 512 = 0. Решение: s = [16 ± sqrt(16^2 + 4·512)]/2 = [16 ± sqrt(2304)]/2 = [16 ± 48]/2. Положительное решение: s = 32. Ответ: AB = 32.