Реши данные функции
1. $y = frac{1}{sqrt{3-|x|}} + frac{1}{x-2}$
2. $y = frac{1}{sqrt{|x|-1}} + sqrt{x+4}$
3. $y = frac{1}{sqrt{(x+1)^2(x+3)}}$
4. $y = sqrt{(x+4)^2(x-3)}$
5. $y = sqrt{|x+5|(x+2)}$
6. $y = frac{1}{sqrt{text{sgn } x}}$
Ниже разберем каждую функцию по шагам и выпишем допустимую область определения (домен) над действительными числами.
1) y = 1 / sqrt(3 - |x|) + 1 / (x - 2)
- Требование к первым дроби: под корнем 3 - |x| > 0 → |x| < 3 → -3 < x < 3.
- Требование ко второй дроби: знаменатель x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2.
- Совместим условия: -3 < x < 3 и x ≠ 2.
- Итоговый домен: (-3, 2) ∪ (2, 3).
2) y = 1 / sqrt(|x| - 1) + sqrt(x + 4)
- Требование к первой дроби: |x| - 1 > 0 → |x| > 1 → x > 1 или x < -1.
- Требование к второй функции: x + 4 ≥ 0 → x ≥ -4.
- Пересечение условий: (-∞, -1) ∪ (1, ∞) пересекать с [-4, ∞) даёт [-4, -1) ∪ (1, ∞).
- Итоговый домен: [-4, -1) ∪ (1, ∞).
3) y = 1 / sqrt((x + 1)^2 (x + 3))
- Под корнем должно быть строго положительно: (x + 1)^2 (x + 3) > 0.
- Так как (x + 1)^2 ≥ 0 и равно 0 только при x = -1, можно рассмотреть две части:
- Для x ≠ -1 знаковая часть — это знак (x + 3). Нужно x + 3 > 0 → x > -3.
- При x = -1 выражение внутри корня равно 0, т.е. деление на 0 — недопустимо.
- Также при x = -3 внутри корня равно 0 — недопустимо.
- Итоговый домен: (-3, -1) ∪ (-1, ∞).
4) y = sqrt((x + 4)^2 (x - 3))
- Под корнем нужно неотрицательное число: (x + 4)^2 (x - 3) ≥ 0.
- Разберём по ситуациям:
- Если x ≥ 3, то (x - 3) ≥ 0, и произведение неотрицательно -> допустимо.
- Если x < 3 и x ≠ -4, то (x - 3) < 0 и (x + 4)^2 > 0 (кроме x = -4). Такое произведение отрицательно — недопустимо.
- Специальный случай x = -4: (x + 4)^2 = 0, следовательно всё произведение равно 0, корень из 0 допустим.
- Итоговый домен: {-4} ∪ [3, ∞).
5) y = sqrt(|x + 5| (x + 2))
- Под корнем нужно неотрицательное число: |x + 5| (x + 2) ≥ 0.
- Анализ знаков:
- Если x ≥ -2, то (x + 2) ≥ 0 и произведение ≥ 0 (поскольку |x + 5| ≥ 0).
- Если x < -2, то (x + 2) < 0. Здесь произведение будет ≤ 0 только в случае |x + 5| = 0 (то есть x = -5). В этом случае произведение равно 0 и корень допустим.
- Итоговый домен: [-2, ∞) ∪ {-5}.
6) y = 1 / sqrt(sgn x)
- sgn x принимает значения: -1 (x < 0), 0 (x = 0), +1 (x > 0).
- Для sqrt нужна ненегативая дробь: sgn x ≥ 0 → x ≥ 0.
- Но при x = 0 знаменатель sqrt(0) = 0 => невозможно деление на ноль. Поэтому x = 0 исключаем.
- Для x > 0: sgn x = 1 → sqrt(1) = 1, функция равна 1.
- Итоговый домен: (0, ∞). Значение функции на этом домене: y ≡ 1.
Если хочешь, могуAlso привести краткие графические пояснения для каждого случая или сделать проверку на примерах конкретных точек.
