Найдите такие положительные числа, чтобы их произведение было наибольшим, если a+b+c=12, a:b=2:3

Задача: найти такие положительные числа a, b, c, с суммой 12 и отношением a:b = 2:3, чтобы произведение P = a·b·c было максимальным.

Пошаговое решение

1. Ввод параметра из условия отношения

• Так как a:b = 2:3, запишем a = 2x, b = 3x, где x > 0.

2. Выразим c через x из условия суммы

• Сумма: a + b + c = 12 ⇒ 2x + 3x + c = 12 ⇒ 5x + c = 12 ⇒ c = 12 − 5x.
• Чтобы числа были положительными, требование c > 0 даёт 12 − 5x > 0 ⇒ x < 12/5 = 2.4. Значение x лежит в интервале (0, 12/5).

3. Выразим произведение через x

• P(x) = a·b·c = (2x)(3x)(12 − 5x) = 6x²(12 − 5x) = 72x² − 30x³.

4. Найдем максимум функции P(x)

• Найдем критические точки: P′(x) = 144x − 90x² = 18x(8 − 5x).
• Корни: x = 0 и x = 8/5. Важен промежуток (0, 12/5); x = 8/5 ∈ этот интервал и даёт максимум (поскольку при концах x → 0 или x → 12/5 P → 0).

5. Проверка максимума

• Вторая производная: P″(x) = 144 − 180x. В точке x = 8/5: P″(8/5) = 144 − 180·(8/5) = 144 − 288 = −144 < 0, значит это действительно максимум.

6. Найдём значения a, b, c и максимум продукта

• x = 8/5.
• a = 2x = 16/5.
• b = 3x = 24/5.
• c = 12 − 5x = 12 − 8 = 4.
• Максимальное произведение: P_max = a·b·c = (16/5)·(24/5)·4 = (16·24·4)/25 = 1536/25 ≈ 61.44.

Ответ

• При максимальном произведении получаются a = 16/5, b = 24/5, c = 4, и максимальное произведение P_max = 1536/25.

Примечание (если требуются целые числа)

• Если требуется целые числа, из условия a:b = 2:3 и a + b + c = 12 имеем a = 2m, b = 3m, 5m + c = 12.
• Для целых m допустимы m = 1 или m = 2:
  • m = 1: (a, b, c) = (2, 3, 7), P = 42.
  • m = 2: (a, b, c) = (4, 6, 2), P = 48.
• Тогда для целых чисел максимум равен 48 при (a, b, c) = (4, 6, 2).