Найдите такие положительные числа, чтобы их произведение было наибольшим,  если a+b+c=12, a:b=2:3

Задача: найти такие положительные числа a, b, c, с суммой 12 и отношением a:b = 2:3, чтобы произведение P = a·b·c было максимальным. Пошаговое решение 1) Ввод параметра из условия отношения - Так как a:b = 2:3, запишем a = 2x, b = 3x, где x > 0. 2) Выразим c через x из условия суммы - Сумма: a + b + c = 12 ⇒ 2x + 3x + c = 12 ⇒ 5x + c = 12 ⇒ c = 12 − 5x. - Чтобы числа были положительными, требование c > 0 даёт 12 − 5x > 0 ⇒ x < 12/5 = 2.4. Значение x лежит в интервале (0, 12/5). 3) Выразим произведение через x - P(x) = a·b·c = (2x)(3x)(12 − 5x) = 6x²(12 − 5x) = 72x² − 30x³. 4) Найдем максимум функции P(x) - Найдем критические точки: P′(x) = 144x − 90x² = 18x(8 − 5x). - Корни: x = 0 и x = 8/5. Важен промежуток (0, 12/5); x = 8/5 ∈ этот интервал и даёт максимум (поскольку при концах x → 0 или x → 12/5 P → 0). 5) Проверка максимума - Вторая производная: P″(x) = 144 − 180x. В точке x = 8/5: P″(8/5) = 144 − 180·(8/5) = 144 − 288 = −144 < 0, значит это действительно максимум. 6) Найдём значения a, b, c и максимум продукта - x = 8/5. - a = 2x = 16/5. - b = 3x = 24/5. - c = 12 − 5x = 12 − 8 = 4. - Максимальное произведение: P_max = a·b·c = (16/5)·(24/5)·4 = (16·24·4)/25 = 1536/25 ≈ 61.44. Ответ - При максимальном произведении получаются a = 16/5, b = 24/5, c = 4, и максимальное произведение P_max = 1536/25. Примечание (если требуются целые числа) - Если требуется целые числа, из условия a:b = 2:3 и a + b + c = 12 имеем a = 2m, b = 3m, 5m + c = 12. - Для целых m допустимы m = 1 или m = 2: - m = 1: (a, b, c) = (2, 3, 7), P = 42. - m = 2: (a, b, c) = (4, 6, 2), P = 48. - Тогда для целых чисел максимум равен 48 при (a, b, c) = (4, 6, 2).