Чтобы вычислить выражение \( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} \) при \( a = 0,25 \) и \( c = 0,49 \), нам сначала нужно найти значения \( \sqrt{a} \) и \( \sqrt{c} \). 1. Вычислим \(…
Чтобы вычислить выражение \( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} \) при \( a = 0,25 \) и \( c = 0,49 \), нам сначала нужно найти значения \( \sqrt{a} \) и \( \sqrt{c} \). 1. Вычислим \( \sqrt{a} \): \[ \sqrt{0,25} = 0,5 \] 2. Теперь вычислим \( \sqrt{c} \): \[ \sqrt{0,49} = 0,7 \] Теперь подставим полученные значения в выражение: \[ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \frac{1}{0,5 + 0,7} \] Сложим \( 0,5 \) и \( 0,7 \): \[ 0,5 + 0,7 = 1,2 \] Теперь подставим это значение в дробь: \[ \frac{1}{1,2} \] Чтобы упростить, можно записать это в виде десятичной дроби: \[ \frac{1}{1,2} \approx 0,8333 \text{ (периодическая дробь)} \] Таким образом, значение выражения \( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} \) при \( a = 0,25 \) и \( c = 0,49 \) равно примерно \( 0,8333 \).
Цель: понять решение подробно.
Задача уже решается двумя понятными способами. Ниже шаги.
Способ 1: через дроби (самый ясный и точный)
- Преобразуем подстановки в дроби:
- a = 0,25 = 1/4
- c = 0,49 = 49/100
- Найдем квадратные корни:
- sqrt(a) = sqrt(1/4) = 1/2
- sqrt(c) = sqrt(49/100) = 7/10
Подставим в выражение и сложим: sqrt(a) + sqrt(c) = 1/2 + 7/10 = 5/10 + 7/10 = 12/10 = 6/5
Найдем обратное этого числа: 1 / (6/5) = 5/6
Десятичное значение (для примера): 5/6 = 0,8333... (период 3)
Ответ: 5/6 ≈ 0,8333...
Способ 2: рационализация (проверка, как можно получить то же самое другим путём)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое (√a − √c): 1 / (√a + √c) = (√a − √c) / (a − c)
Подстановка чисел:
- √a = 1/2, √c = 7/10
- a − c = 1/4 − 49/100 = 25/100 − 49/100 = −24/100 = −6/25
- √a − √c = 1/2 − 7/10 = 5/10 − 7/10 = −2/10 = −1/5
- Вычислим: (√a − √c) / (a − c) = (−1/5) / (−6/25) = (−1/5) × (−25/6) = 25/30 = 5/6
И здесь тоже получаем 5/6, что равняется ≈ 0,8333...
Итог: выражение 1 / (√a + √c) при a = 0,25 и c = 0,49 равно 5/6, то есть примерно 0,8333...
