верно ли утверждение:а) если две точки окружности лежат в плоскости,то и вся окружность лежит в этой плоскости,б) если три точки окружности лежат в плоскости,то и вся окружность…

Параметры задачи: Геометрия, 10 класс, цель — понять. Рассмотрим утверждения a) и b) и дадим подробные объяснения.

a) Утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

• Ответ: неверно. Приведём контрпример.

Контрпример:

• Пусть две точки окружности возьмём A = (1, 0, 0) и B = (-1, 0, 0). Обе они лежат в плоскости z = 0.
• Возьмём центр окружности O = (0, 0, 1) и радиус R = √2.
• Расстояния: OA = OB = √[(1−0)² + (0−0)² + (0−1)²] = √2, то есть A и B принадлежат окружности с центром O и радиусом √2.
• Плоскость, содержащая центр O и точки A и B, совпадает с плоскостью y = 0 (X–Z плоскость). Следовательно эта окружность лежит в плоскости y = 0.
• Однако A и B лежат и в другой плоскости, например в плоскости z = 0. Поясним: окружность лежит в плоскости y = 0, но полностью она не лежит в плоскости z = 0 (появились точки на окружности с не нулевым значением z).
• Следовательно, две точки окружности могут лежать в одной плоскости, а сама окружность — в другой плоскости. Утверждение неверно.

Пояснение на более общем уровне:

• Линия AB задаёт множество плоскостей, проходящих через AB. У окружности не обязательно единственная плоскость: для заданной пары точек A и B трёхмерная окружность может лежать в любой плоскости, которая содержит A, B и центр окружности. Поэтому две точки не фиксируют плоскость окружности.

b) Утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости.

• Ответ: верно.

Обоснование:

• Любые три неконкурентно лежащие на одной окружности точки неколлинеарны (на окружности не может быть три точки на одной прямой, так как линия пересекает окружность не более двумя точками).
• Определяем плоскость Π по этим трём точкам A, B, C: она существует и уникальна.
• Так как эти три точки принадлежат окружности, вся окружность находится в той же самой плоскости Π. Следовательно, вся окружность лежит в плоскости, заданной тремя её точками.

Итого:

• а) неверно. Две точки окружности могут лежать в одной плоскости, но окружность лежит в другой плоскости.
• b) верно. Три точки окружности определяют её плоскость, и вся окружность находится в этой плоскости.