Реши подробно систему х^2+у^2=29; 3х-7у=-29

Задача: решить систему x^2 + y^2 = 29 3x − 7y = −29 Цель: понять пошагово и детально объяснить. Способ 1: подстановкой через линейное уравнение 1) Из линейного уравнения 3x − 7y = −29 выразим x через y: 3x = −29 + 7y → x = (7y − 29)/3. 2) Подставим это в окружность: ((7y − 29)/3)^2 + y^2 = 29. 3) Умножим на 9, чтобы убрать дроби: (7y − 29)^2 + 9y^2 = 9·29 = 261. Раскрываем скобки: 49y^2 − 406y + 841 + 9y^2 = 261. 4) Приведём подобные: 58y^2 − 406y + 841 − 261 = 0 → 58y^2 − 406y + 580 = 0. Разделим на 2: 29y^2 − 203y + 290 = 0. 5) Разложим на множители (или используем дискриминант): 29y^2 − 203y + 290 = 29(y^2 − 7y + 10) = 29(y − 5)(y − 2) = 0. Значит, y = 5 или y = 2. 6) Найдём x для каждого значения y: - При y = 5: x = (7·5 − 29)/3 = (35 − 29)/3 = 6/3 = 2. - При y = 2: x = (7·2 − 29)/3 = (14 − 29)/3 = −15/3 = −5. 7) Проверим в обеих уравнениях: - (x, y) = (2, 5): x^2 + y^2 = 4 + 25 = 29; 3x − 7y = 6 − 35 = −29. - (x, y) = (−5, 2): x^2 + y^2 = 25 + 4 = 29; 3x − 7y = −15 − 14 = −29. Ответ: пары (2, 5) и (−5, 2). Дополнительный метод (быстрый контроль): 1) Из линейного уравнения 3x − 7y = −29 выразим y через x: 7y = 3x + 29 → y = (3x + 29)/7. 2) Подставим в окружность: x^2 + ((3x + 29)/7)^2 = 29. Умножим на 49: 49x^2 + (3x + 29)^2 = 29·49. Раскроем: 49x^2 + 9x^2 + 174x + 841 = 1421. 58x^2 + 174x + 841 − 1421 = 0 → 58x^2 + 174x − 580 = 0. Разделим на 2: 29x^2 + 87x − 290 = 0. Факторизация: 29(x^2 + 3x − 10) = 29(x + 5)(x − 2) = 0. Значит, x = −5 или x = 2. 3) Найдём y по линейному уравнению: - Для x = −5: y = (3·−5 + 29)/7 = (−15 + 29)/7 = 14/7 = 2. - Для x = 2: y = (3·2 + 29)/7 = (6 + 29)/7 = 35/7 = 5. Получаем те же пары: (−5, 2) и (2, 5). Итого: - Решения системы: (2, 5) и (−5, 2). - Это две точки пересечения окружности радиуса sqrt(29) с заданной прямой 3x − 7y = −29.