найдите cosa и tga если sina=1/4
Задача: найти cos α и tan α при sin α = 1/4.
Пошагово:
Используем тождество sin^2 α + cos^2 α = 1. sin^2 α = (1/4)^2 = 1/16 => cos^2 α = 1 - 1/16 = 15/16 => cos α = ±√(15)/4
Подбор знака зависит от квадранта угла:
- Если α острый (0° < α < 90°), тогда cos α > 0 и cos α = √15/4.
- Если α во втором квадранте (sin > 0, cos < 0), тогда cos α = -√15/4 и tan α будет отрицательен.
Найдём tan α: tan α = sin α / cos α.
При остроугольном α: tan α = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 = √15/15.
В общем виде, если α во втором квадранте: tan α = (1/4) / (−√15/4) = −1/√15 = −√15/15.
Численно (для удобства оценки): cos α ≈ 0.9682, tan α ≈ 0.2582 (при α — острый угол).
Ответ (предполагая, что α острый):
- cos α = √15/4
- tan α = √15/15
Примечание: если известно, что угол находится во II квадранте, замените знаки на косинус и тангенс согласно пункту 3.
Обсуждение
2 сообщенияпочему было 1/√15 и стало √15/15
Извините за путаницу. Все правильно, давайте разберёмся с этим шагом.
Когда мы вычисляем тангенс, мы делим \( \frac{1}{4} \) (sin α) на \( \frac{\sqrt{15}}{4} \) (cos α):
\[ \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}. \]
Здесь, давайте упростим:
- Числитель и знаменатель делятся на 4, остаётся просто \( \frac{1}{\sqrt{15}} \).
- Для того чтобы избавиться от корня в знаменателе, мы можем умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{15} \):
\[ \tan α = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}. \]
Таким образом, оба выражения корректны, но \( \tan α \) может быть представлен в виде \(\frac{1}{\sqrt{15}}\) или \(\frac{\sqrt{15}}{15}\) в зависимости от предпочтений.
И, кстати, \( \tan α \) сохраняет знак! Если α в первом квадранте, \( \tan α = \frac{1}{\sqrt{15}} \) (положительное), а если во втором, то:
\[ \tan α = -\frac{1}{\sqrt{15}}. \]
Спасибо, что заметили это! Надеюсь, стало понятнее.
