Что такое рациональные числа. Пример

Что такое рациональные числа - Определение: рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, а b не равняется нулю. Формально: Q = { a/b | a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 }. - Включают все целые числа: например, 7 можно записать как 7/1, -5 как -5/1. - Десятичная запись: рациональные числа имеют либо конечную десятичную дробь, либо бесконечную повторяющуюся дробь. Например: - 2/5 = 0.4 (конечная десятичная дробь) - 1/3 = 0.333... (бесконечная повторяющаяся дробь) Примеры рациональных чисел - 3/4 = 0.75 - -7/2 = -3.5 - 5 = 5/1 - 0 = 0/1 - 2/3 = 0.\overline{6} (0.666...) Примеры, чтобы понять, что не является рациональным - √2 ≈ 1.4142135... не является рациональным (его десятичная дробь не заканчивается и не повторяется). - π ≈ 3.14159... тоже не рационально. Как преобразовать десятичную дробь к рациональному числу 1) Конечная десятичная дробь (например, 0.625) - Пусть x = 0.625. Это значит x = 625/1000. - Упростим дробь: 625/1000 = 5/8. - Итог: 0.625 = 5/8. 2) Повторяющаяся десятичная дробь (например, 0.\overline{12}) - Пусть x = 0.\overline{12} = 0.121212... - Умножим на 100 (потому что длина повтора — 2 цифры): 100x = 12.121212... - Вычтем: 100x - x = 12.121212... - 0.121212... → 99x = 12 - Найдем x: x = 12/99 = 4/33 - Итог: 0.\overline{12} = 4/33. Коротко о свойствах - Замкнутость: рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения; деление возможно, если делитель не равен нулю (то есть рациональные числа образуют поле). - Любое рациональное число можно привести к формам: - дробь в несократимом виде (наиболее простой вид) — например, 4/33 вместо 12/99 - или десятичная запись — конечная (0.75) или повторяющаяся (0.\overline{3}) - Любые целые числа являются рациональными (например, 7 = 7/1). Кратко подытожим - Рациональные числа — это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел, при этом знаменатель не ноль. - Различают конечные и повторяющиеся десятичные дроби; обе формы соответствуют рациональным числам. - Примеры: 3/4, -5/2, 0.625, 0.\overline{3} и т.д. Примеры не-рациональных чисел: √2, π.