представить в виде лесятичной переолической дроби 1/3

Задача: представить 1/3 в виде десятичной периодической дроби.

Ответ: 1/3 = 0.\overline{3} = 0.333... (цикл состоит из одной цифры 3).

Пошаговое объяснение (вариант 1: метод длинного деления)

1. Делим 1 на 3: целая часть 0, остаток 1.
2. Пишем десятичную запятую и приводим далее: миллиардируем остаток 1 до 10 (то есть смотрим 10 ÷ 3).
3. 3 влезает в 10 три раза: пишем 3 после запятой. 3×3 = 9, разность 10 − 9 = 1 — остаток снова 1.
4. Поскольку остаток повторился, цифры после запятой будут повторяться. Следующая цифра такая же — 3, и дальше цикл повторяется. Итак, десятичное представление: 0.333... с периодом из одной цифры 3, то есть 0.\overline{3}.

Пояснение через бесконечную геометрическую сумму (вариант 2) 1/3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... Это равно 0.3 × (1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ...) = 0.3 × (1 / (1 − 0.1)) = 0.3 × (1 / 0.9) = 0.3 × (10/9) = 3/9 = 1/3. Таким образом получаем ту же дробь.

Дополнительная примечание

• Иногда пишут как 0.(3) или 0.\overline{3}; оба обозначения означают одну и ту же периодическую часть (цикл — цифра 3).
• Быстрый контроль: пусть x = 0.\overline{3}. Тогда 3x = 0.\overline{9} = 1, следовательно x = 1/3. Это подтверждает правильность результата (понимание такого равенства лучше рассмотреть отдельно как теоретический нюанс математики).