Целые числа a, b и c удовлетворяют равенства ab+c=100, bc+a=87, ca+b=60. Укажите все значения, чему может равняться число b.

Решение задачи с пошаговыми объяснениями. Даны целые a, b, c такие, что ab + c = 100 bc + a = 87 ca + b = 60 1) Возьмем попарно разности этих уравнений. - (1) − (2): ab + c − (bc + a) = 100 − 87 b(a − c) + (c − a) = 13 (a − c)(b − 1) = 13 … (A) - (2) − (3): bc + a − (ca + b) = 87 − 60 c(b − a) + (a − b) = 27 (a − b)(1 − c) = 27 … (B) - (3) − (1): ca + b − (ab + c) = 60 − 100 a(c − b) + (b − c) = −40 (c − b)(a − 1) = −40 … (C) 2) Так как число 13 в (A) — простое, рассмотрим все парные значения (a − c, b − 1) такие, чтобы их произведение было 13: - Case 1: a − c = 1, b − 1 = 13 => b = 14, a = c + 1 - Case 2: a − c = 13, b − 1 = 1 => b = 2, a = c + 13 - Case 3: a − c = −1, b − 1 = −13 => b = −12, a = c − 1 - Case 4: a − c = −13, b − 1 = −1 => b = 0, a = c − 13 Для каждого случая подставим в (B) и (C) и найдём c, a (и затем проверяем в оригинальных уравнениях). Case 1: b = 14, a = c + 1 (B): (c + 1 − 14)(1 − c) = 27 ⇒ (c − 13)(1 − c) = 27 Это даёт (c − 13)(c − 1) = −27 ⇒ c^2 − 14c + 40 = 0 ⇒ c = 4 или 10. Соответственно a = 5 или 11. (C): (c − 14)(a − 1) = −40 даёт корректность для обоих значений c. Но проверка в оригинальном уравнении ab + c = 100 даёт 74 и 164, то эти варианты не подходят. Case 2: b = 2, a = c + 13 (B): (c + 13 − 2)(1 − c) = 27 ⇒ (c + 11)(1 − c) = 27 Это даёт (c + 11)(c − 1) = −27 ⇒ c = −8 или −2; а = 5 или 11. (C): (c − 2)(a − 1) = −40 подтверждает эти пары. Проверка в оригинальном уравнении даёт ab + c = 2a − 8, получаются 2 и 20, не 100. Значит варианты исключаем. Case 3: b = −12, a = c − 1 (B): (c − 1 − (−12))(1 − c) = 27 ⇒ (c + 11)(1 − c) = 27 Это те же значения c = −8 или −2; а = −9 или −3. (C): (c + 12)(a − 1) = −40 даёт корректность для тех пар. Проверка в оригинале даёт: - для (a, b, c) = (−9, −12, −8): ab + c = (−9)(−12) + (−8) = 108 − 8 = 100, bc + a = (−12)(−8) + (−9) = 96 − 9 = 87, ca + b = (−8)(−9) + (−12) = 72 − 12 = 60. Всё сходится. - для (a, b, c) = (−3, −12, −2): ab + c = 36 − 2 = 34 (не 100). Значит этот вариант не подходит. Case 4: b = 0, a = c − 13 (B): (c − 13)(1 − c) = 27 ⇒ (c − 13)(c − 1) = −27 ⇒ c = 4 или 10; a = −9 или −3. (C): c(a − 1) = −40 даёт корректность для этих пар, но в оригинале ab + c = c не достигает 100. Значит варианты исключаем. Итого остаётся единственное полно удовлетворяющее всем трём исходным уравнениям решение: (a, b, c) = (−9, −12, −8). Ответ: число b может принимать единственное значение −12.