ABCD-прямоугольник,AB=8,BC=4
AK:AB=3:5,CP:CD=3:5
найти:периметр DKBP,площадь DKBP
Задача в рамках прямоугольника ABCD: AB = 8, BC = 4. Пусть A = (0,0), B = (8,0), C = (8,4), D = (0,4).
1) Найдем точки K и P по условиям AK:AB = 3:5 и CP:CD = 3:5.
- AB = 8, значит AK = (3/5)·8 = 24/5 = 4.8. Точка K лежит на AB, координаты K = (24/5, 0).
- CD = AB = 8, значит CP = (3/5)·8 = 24/5. CD идёт от C(8,4) к D(0,4) влево, поэтому x-координата P будет 8 − 24/5 = 16/5. Точка P = (16/5, 4).
Таким образом:
K = (24/5, 0), P = (16/5, 4).
2) Периметр DKBP
Строим стороны квадилятера: DK, KB, BP, PD.
- DK: D(0,4) до K(24/5, 0)
DK = sqrt((24/5 − 0)^2 + (0 − 4)^2) = sqrt((576/25) + 16) = sqrt(976/25) = (4√61)/5.
- KB: K(24/5, 0) до B(8,0)
KB = 8 − 24/5 = 16/5.
- BP: B(8,0) до P(16/5, 4)
BP = sqrt((16/5 − 8)^2 + (4 − 0)^2) = sqrt((-24/5)^2 + 4^2) = sqrt(576/25 + 16) = (4√61)/5.
- PD: P(16/5, 4) до D(0,4)
PD = 0 − 16/5 по x-координате, длина = 16/5.
Периметр DKBP = DK + KB + BP + PD
= (4√61/5) + (16/5) + (4√61/5) + (16/5)
= (8√61/5) + (32/5)
= (8/5)(√61 + 4).
3) Площадь DKBP
Используем формулу площади многоугольника по координатам (формула знакопеременного лишнего умножения по вершинам в порядке D → K → B → P).
Вычисления дают площадь DKBP = 64/5 = 12.8 квадратных единиц.
Проверка: площадь прямоугольника 32. Разделив прямоугольник по треугольникам A-D-K и B-C-P, их площади равны 9.6 и 9.6, суммарно 19.2. Тогда площадь DKBP = 32 − 19.2 = 12.8, что совпадает.
Ответы:
- Периметр DKBP = (8/5)(√61 + 4) единиц.
- Площадь DKBP = 64/5 квадратных единиц (или 12.8).
