Функция:у=х²+2х

Задача: функция y = x^2 + 2x.

Цель: понять и разобрать подробно, как устроена эта парабола.

1. Приведение к каноническому виду (комплектование квадрата)

• x^2 + 2x можно записать как (x + 1)^2 - 1, потому что (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.
• Значит: y = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1.

2. Геометрическое значение

• Это парабола, которая открывается вверх (коэффициент перед x^2 положительный).
• Функция принимает минимальное значение и график имеет вершину.

3. Вершина и ось симметрии

• По форме (x + 1)^2 - 1 вершина параболы в точке x = -1, y = -1.
• Ось симметрии: x = -1.

4. Минимум функции

• Минимальное значение y_min = -1 достигается при x = -1.
• Следовательно, диапазон значений (область значений): y ≥ -1.

5. Разложение на множители и корни

• x^2 + 2x = x(x + 2).
• Корни (нулевые пункты): x = 0 и x = -2.
• Это точки пересечения графика с осью Ox: (-2, 0) и (0, 0).

6. Точки пересечения с осью y

• При x = 0: y = 0. Таким образом, ось Oy пересекается в точке (0, 0).

7. Производная и монотонность (для понимания поведения)

• Производная: dy/dx = 2x + 2.
• Производная равна нулю при x = -1 (соответствует вершине).
• График уменьшается на (-∞, -1] и возрастает на [-1, ∞).

8. Примеры значений (для наглядности)

• x = -3: y = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3
• x = -2: y = 4 - 4 = 0
• x = -1: y = 1 - 2 = -1
• x = 0: y = 0
• x = 1: y = 1 + 2 = 3
• x = 2: y = 4 + 4 = 8

9. Резюме канонических форм

• Обычный вид: y = x^2 + 2x.
• Канонический вид (см. пункт 1): y = (x + 1)^2 - 1.
• Множители: y = x(x + 2).
• Вершина: (-1, -1).
• Ось симметрии: x = -1.
• Минмум: y_min = -1 при x = -1.
• Область значений: y ≥ -1.
• Корни: x = -2 и x = 0.

Если хочешь, могу привести решение под конкретную задачу: например, найти минимальное значение, построить график или решить уравнение y = 0. Также могу привести таблицу значений или график в текстовом виде.